1.3 Контрольные вопросы
1. Опишите алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в недесятичную систему счисления.
2. Опишите алгоритм перевода целых чисел из недесятичной системы счисления в десятичную систему счисления.
3. Опишите алгоритм перевода целых чисел из недесятичной системы счисления в недесятичную систему счисления при условии, что основания систем счисления кратны степени двойки.
4. Опишите алгоритм перевода чисел из недесятичной системы счисления в недесятичную систему счисления при условии, что основания систем счисления не кратны степени двойки.
5. Опишите алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в двоично-десятичную систему счисления.
6. Опишите алгоритм перевода правильной дроби из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.
7. Опишите алгоритм перевода неправильной десятичной дроби в двоичную систему счисления.
8. Опишите алгоритм перевода неправильной дроби, записанной в восьмеричной (шестнадцатеричной) системе счисления, в двоичную систему счисления.
9. Опишите алгоритм перевода неправильной дроби из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления.
1.4 Примеры аудиторных заданий
Задание 1. Необходимо
перевести из десятичной системы счисления
в двоичную систему счисления целое
число
.
Решение. Необходимо
последовательно делить исходное число
(
)
на основание новой системы счисления
(
)
рис. 1.2.
53 |
2 |
|
|
|
|
52 |
26 |
2 |
|
|
|
1 |
26 |
13 |
2 |
|
|
|
0 |
12 |
6 |
2 |
|
|
|
1 |
6 |
3 |
2 |
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
Рисунок 1.2 - Перевод целого числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления
При
переводе целого числа
из десятичной системы счисления в
двоичную систему счисления получим:
.
Задание 2. Необходимо перевести из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления целое число .
Решение. Произведем
последовательное деление исходного
числа (
)
на основание новой системы счисления
(
).
Перевод целого числа
из десятичной системы счисления в
восьмеричную систему счисления, приведен
на рис. 1.3.
53 |
8 |
48 |
6 |
5 |
|
|
|
Рисунок 1.3 - Перевод целого числа из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления
При
переводе целого числа
из десятичной системы счисления в
восьмеричную систему счисления получим:
.
Задание 3. Необходимо перевести из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления целое число .
Решение. Произведем
последовательное деление исходного
числа (
)
на основание новой системы счисления
(
).
Перевод целого числа
из десятичной системы счисления в
шестнадцатеричную систему счисления
приведен на рис. 1.4.
53 |
16 |
48 |
3 |
5 |
|
|
|
Рисунок 1.4 - Перевод целого числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления
При
переводе целого числа
из десятичной системы счисления в
шестнадцатеричную систему счисления
получим:
.
Задание 4. Необходимо перевести из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления целое число .
Решение. Запишем число: по формуле (1.11) в виде суммы произведений двоичных цифр умноженных на основание системы счисления, возведенную в степень позиции цифры в числе (рис.1.5).
.
Рисунок 1.5 - Перевод целого числа из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления
Тогда получим: .
Задание 5. Необходимо перевести из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления целое число: .
Решение. Запишем число: по формуле (1.11) в виде суммы произведений восьмеричных цифр умноженных на основание системы счисления, возведенную в степень позиции цифры в числе (рис.1.6).
.
Рисунок 1.6 - Перевод целого числа из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления
При переводе целого числа из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления получим: .
Задание 6. Необходимо перевести из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления целое число: .
Решение. Запишем число: по формуле (1.11) в виде суммы произведений шестнадцатеричных цифр умноженных на основание системы счисления, возведенную в степень позиции цифры в числе (рис.1.7).
.
Рисунок 1.7 - Перевод целого числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления
При переводе целого числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления получим: .
Задание 7. Необходимо из восьмеричной системы счисления перевести в шестнадцатеричную систему счисления целое число: .
Решение. Перевод осуществляется в два шага.
Шаг 1: переведем целое число: в двоичную систему счисления. Каждая цифра восьмиричного числа переводится отдельно в двоичную систему счисления. Для этого объединяем цифры двоичного числа в группы, каков показатель степени, т.к. перевод осуществляется из восьмеричной системы счисления, то группы будут содержать три цифры ( ), такая группа называется триадой.
Шаг 2: переведем полученное число из двоичной системы счисления в шестнадцатиричную систему счисления. Двоичное число разбивается на группы которые содержат четыре цифры ( ), такая группа называется тетрадой. В целой части числа группировка производится справа налево, в дробной части числа – слева направо. Если в последней группе (тетраде) недостает цифр, то дописываются нули: в целой части числа – слева, в дробной части числа – справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы счисления (рис.1.8).
6 |
5 |
|||||||||||
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|||||||
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|||||
3 |
5 |
|||||||||||
Рисунок 1.8 - Перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления целого числа
При переводе целого числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления получим: .
Задание 8. Необходимо из шестнадцатеричной системы счисления перевести в восьмеричную систему счисления целое число: .
Решение: Перевод осуществляется в два шага. Шаг 1: переведем целое число: в двоичную систему счисления. Каждая цифра шестнадцатеричного числа переводится отдельно в двоичную систему счисления. Для этого объединяем цифры двоичного числа в группы, каков показатель степени, т.к. перевод осуществляется из шестнадцатеричной системы счисления, то группы будут содержать четыре цифры ( ), такая группа называется тетрадой.
Шаг 2: переведем полученное число из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. Двоичное число разбивается на группы которые содержат три цифры ( ), такая группа называется триадой.
В целой части числа группировка производится справа налево, в дробной части числа – слева направо. Если в последней группе (триаде) недостает цифр, то дописываются нули: в целой части числа – слева, в дробной части числа – справа.
Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы счисления (рис.1.9).
|
|
|
3 |
5 |
||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
||||||||
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
||||||||||
0 |
6 |
5 |
||||||||||||||||
Рисунок 1.9 - Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в
восьмеричную систему счисления целого числа
При переводе целого числа из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную систему счисления получим: .
Задание 9. Необходимо
из
пятеричной системы счисления перевести
в троичную систему счисления целое
число
.
Решение: Перевод осуществляется в два шага. Шаг 1. Запишем число: по формуле (1.11) в виде суммы произведений пятеричных цифр умноженных на основание системы счисления, возведенную в степень позиции цифры в числе (рис.1.10).
.
Рисунок 1.10 - Перевод целого числа из пятеричной системы счисления в десятичную систему счисления
Шаг 2. Переведем полученное число из десятичной системы счисления в троичную систему счисления. Произведем последовательное деление исходного числа ( ) на основание новой системы счисления (3). Перевод целого числа из десятичной системы счисления в троичную систему счисления приведен на рис. 1.11.
53 |
3 |
|
|
51 |
17 |
3 |
|
2 |
15 |
5 |
3 |
|
2 |
3 |
1 |
|
|
2 |
|
Рисунок 1.11 - Перевод целого числа из десятичной системы счисления в троичную систему счисления
При
переводе целого числа
из пятеричной системы счисления в
троичную систему счисления получим:
.
Задание 10. Необходимо
из десятичной системы счисления перевести
в двоично-десятичную систему счисления
целое число:
.
Решение: При
переводе целого десятичного числа:
в двоично-десятичную систему счисления,
необходимо разбить его на тетрады
(рис.1.12).
1 |
1 |
8 |
|||||||||
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
23 |
22 |
21 |
20 |
23 |
22 |
21 |
20 |
23 |
22 |
21 |
20 |
8 |
4 |
2 |
1 |
8 |
4 |
2 |
1 |
8 |
4 |
2 |
1 |
Рисунок 1.12 - Перевод из десятичной системы счисления в двоично-десятичную систему счисления целого числа .
При
переводе целого числа
из десятичной системы счисления в
двоично-десятичную систему счисления
получим:
.
Задание 11. Необходимо из двоично-десятичной системы счисления перевести в десятичную систему счисления целое число: .
Решение: При переводе целого двоично-десятичного числа: в десятичную систему счисления, необходимо разбить это число на тетрады (рис.1.13).
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
23 |
22 |
21 |
20 |
23 |
22 |
21 |
20 |
23 |
22 |
21 |
20 |
8 |
4 |
2 |
1 |
8 |
4 |
2 |
1 |
8 |
4 |
2 |
1 |
1 |
1 |
8 |
|||||||||
Рисунок 1.13 - Перевод из двоично-десятичной системы счисления в десятичную систему счисления целого числа
При переводе целого числа из двоично-десятичной системы счисления в десятичную систему счисления получим: .
Задание 12. Необходимо
перевести из десятичной системы счисления
в двоичную систему счисления правильную
дробь
.
Решение: При
переводе правильной десятичной дроби
в двоичную систему счисления необходимо
произвести последовательное умножение
дробной части на новое основание системы
счисления (
)
рис.1.14.
|
0, |
3 |
7 |
5 |
|
|
|
|
2 |
Самая старшая цифра- |
0, |
7 |
5 |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
1, |
5 |
0 |
0 |
|
|
|
|
2 |
Самая младшая цифра - |
1, |
0 |
0 |
0 |
Рисунок 1.14 - Перевод из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления правильной дроби .
При
переводе из десятичной системы счисления
в двоичную систему счисления правильной
дроби, получим:
.
Задание 13. Необходимо
перевести из десятичной системы счисления
в восьмеричную систему счисления
правильную дробь
.
Решение: Необходимо произвести последовательное умножение дробной части на новое основание системы счисления ( ) рис.1.15.
|
0, |
8 |
1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
8 |
Самая старшая цифра- |
6, |
5 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
8 |
Самая младшая цифра- |
4, |
0 |
0 |
0 |
0 |
Рисунок 1.15 - Перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления правильной дроби .
При
переводе из десятичной системы счисления
в восьмеричную систему счисления
правильной дроби, получим:
.
Последнее произведение получилось
равным (
),
а ранее было уже получено произведение
(
),
следовательно считаем, что начался
период. Тогда получим:
.
Задание 14. Необходимо
перевести из десятичной системы счисления
в двоичную систему счисления неправильную
дробь
.
Решение: При
переводе неправильной десятичной дроби
в двоичную систему счисления, необходимо
сначала перевести целую часть числа
(
)
путем последовательного деления на
основание новой системы счисления (
)
до тех пор, пока не получится частное,
у которого целая часть равна (
).
При этом число в новой системе счисления
записывается из остатков от последовательного
деления, причем последний остаток будет
старшей цифрой нового числа.
А затем перевести дробную часть путем последовательного умножения на основание новой системы счисления ( ) до тех пор, пока в новой дроби не будет нужного количества цифр, которое определяется требуемой точностью представления дроби рис.1.16.
23 |
2 |
|
|
|
|
0, |
1 |
2 |
5 |
22 |
11 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
10 |
5 |
2 |
|
|
0, |
2 |
5 |
0 |
|
1 |
4 |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
0, |
5 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1, |
0 |
0 |
0 |
Рисунок 1.16 - Перевод из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления неправильной десятичной дроби .
Тогда
получим:
.
Задание 15. Необходимо
перевести из десятичной системы счисления
в двоичную систему счисления правильную
дробь
.
Решение: Необходимо правильную десятичную дробь последовательно умножать (дробную часть) на новое основание системы счисления ( ) рис.1.17.
|
0, |
3 |
5 |
|
|
|
2 |
Самая старшая цифра- |
0, |
7 |
0 |
|
|
|
2 |
|
1, |
4 |
0 |
|
|
|
2 |
|
0, |
8 |
0 |
|
|
|
2 |
|
1, |
6 |
0 |
|
|
|
2 |
|
1, |
2 |
0 |
|
|
|
2 |
Самая младшая цифра- |
0, |
4 |
0 |
Рисунок 1.17 - Перевод из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления правильной дроби .
Задание 16. Необходимо
перевести из восьмеричной системы
счисления в двоичную систему счисления
неправильную дробь
.
Решение: При переводе неправильной восьмеричной дроби в двоичную систему счисления каждая цифра восьмиричного числа переводится отдельно в двоичную систему счисления. Для этого объединяем цифры двоичного числа в группы, каков показатель степени, т.к. перевод осуществляется из восьмеричной системы счисления, то группы будут содержать три цифры ( ), такая группа называется триадой. Если в последней группе (триаде) недостает цифр, то дописываются нули: в целой части числа – слева, в дробной части числа – справа (рис.1.18).
273.5(8) = |
0 1 0 |
1 1 1 |
0 1 1, |
1 0 1(2) |
= 010111011,101(2) или 10111011,101(2) |
веса: |
4-2-1 |
4-2-1 |
4-2-1 |
4-2-1 |
|
Рисунок 1.18 - Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления неправильной дроби: .
При
переводе из восьмеричной системы
счисления в двоичную систему счисления
неправильной дроби:
получим:
.
Задание 17. Необходимо
перевести из шестнадцатеричной системы
счисления в двоичную систему счисления
неправильную дробь
.
Решение : При переводе неправильной шестнадцатеричной дроби в двоичную систему счисления каждая цифра шестнадцатеричного числа переводится отдельно в двоичную систему счисления. Для этого объединяем цифры двоичного числа в группы, каков показатель степени, т.к. перевод осуществляется из шестнадцатеричной системы счисления, то группы будут содержать четыре цифры ( ), такая группа называется тетрадой. Если в последней группе (тетраде) недостает цифр, то дописываются нули: в целой части числа – слева, в дробной части числа – справа рис.1.19.
5АЕ.18(16)= |
0 1 0 1 |
1 0 1 0 |
1 1 1 0, |
0 0 0 1 |
1 0 0 0(2) |
=10110101110,00011 |
веса: |
8-4-2-1 |
8-4-2-1 |
8-4-2-1 |
8-4-2-1 |
8-4-2-1 |
|
Рисунок 1.19 - Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления неправильной дроби: .
При
переводе из шестнадцатеричной системы
счисления в двоичную систему счисления
неправильной дроби:
получим:
.
Задание 18. Необходимо
перевести из двоичной системы счисления
в десятичную систему счисления
неправильную дробь
.
Решение. Запишем число: по формуле (1.11) в виде суммы произведений двоичных цифр умноженных на основание системы счисления, возведенную в степень позиции цифры в числе (рис.1.20).
.
Рисунок 1.20 - Перевод из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления неправильной дроби: .
При
переводе из двоичной системы счисления
в десятичную систему счисления
неправильной дроби:
получим:
.