Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уч.пос.для ПЗ OKO-2016.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

9 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

2 Арифметические операции сложения и вычитания, двоичных беззнаковых и знаковых чисел с фиксированной точкой в компьютерных системах

2.1 Цель занятия

Изучить алгоритмы выполнения арифметических операций сложения и вычитания двоичных беззнаковых и знаковых чисел с фиксированной точкой в компьютерных системах.

2.2 Методические указания по организации самостоятельной работы студентов

Одними из базовых арифметических операций в компьютерной системе являются арифметические операции сложения и вычитания, при выполнении которых используются поразрядные логические операции, а также операции сдвигов.

Компьютерная система выполняет сложение и вычитание операндов по правилам сложения и вычитания двоичных чисел рис.2.1.

Правила сложения:	Правила вычитания:
1. 0 + 0 = 0	1. 0 - 0 = 0
2. 0 + 1 = 1	2. 1 - 1 = 0
3. 1 + 0 = 1	3. 1 - 0 = 1
4. 1 + 1 = 10	4. 10 - 1 = 1

Рисунок 2.1 - Правила сложения и вычитания двоичных чисел

При сложении беззнаковых операндов, находящихся в регистрах процессора, алгоритм выполнения операции отслеживается по счетчику тактов, начиная с младшего бита, и количество тактов равно разрядности регистра процессора. Для выполнения алгоритма сложения двоичных беззнаковых чисел в компьютерных системах можно ввести следующие обозначения: - значение слагаемого в регистре ; - значение слагаемого в регистре ; - перенос в следующий разряд; - сумма в регистре . Например, необходимо перевести в двоичную систему счисления, а затем сложить два числа ( ) и ( ), записанных в десятичной системе счисления (по правилам сложения двоичных беззнаковых чисел). Длина разрядной сетки операндов равна пяти битам. Используя вышеописанные правила, мы находим сумму двоичных чисел как показано на рис. 2.2 и в таблице 2.1. Проблем не возникает до тех пор, пока значение результата не превышает разрядной сетки операнда.

;

regB

regC

Рисунок 2.2 - Исходные данные для выполнения операции сложения двух двоичных беззнаковых чисел

Таблица 2.1 - Алгоритм сложения двух двоичных беззнаковых чисел

Такты
1	1	0	0	1
2	1	1	1	0
3	1	0	1	0
4	0	0	0	1
5	0	0	0	0

В результате сложения двух двоичных беззнаковых чисел получена сумма, представленная на рис.2.3.

regA

Рисунок 2.3 - Результат выполнения алгоритма сложения двух двоичных беззнаковых чисел

При выполнении арифметических операций непосредственное участие в алгоритме сложения и вычитания принимает операционный автомат ( ) (рис.2.4). На рис.2.4 приняты следующие сокращения:

- регистр для хранения операнда ;

- регистр для хранения суммы;

- одноразрядный сумматор;

- флаг (триггер) переноса;

- сигнал сдвига влево регистра на один разряд;

- разрядность регистра (процессора).

На этой функциональной схеме прямоугольниками обозначены регистры (устройства для хранения информации), трапецией - комбинационные схемы (устройства для преобразования информации без ее запоминания). В состав ( ) входят регистры, триггеры, комбинационные схемы, связанные между собой и таким образом, чтобы можно было выполнить определенный алгоритм (алгоритмы). Операционный аппарат представляет собой простой цифровой процессор. С помощью специальных управляющих сигналов, процессор определяет, какую именно арифметическую операцию - сложения, вычитания, умножения или деления - он будет выполнять. Структура операционного аппарата для выполнения арифметических операций двоичных беззнаковых чисел приведена на рис.2.4.

Рисунок 2.4 - Функциональная схема ( ) для операции сложения двоичных беззнаковых чисел

Для того, чтобы компьютерная система могла оперировать как положительными, так и отрицательными числами, в разрядную сетку компьютерного представления числа вводится знаковая часть. Разработчики компьютерных систем самый крайний левый бит отвели под знак и приняли следующее обозначение: если самый крайний левый бит в разрядной сетке представления числа содержит ( ) - это означает положительное двоичное число; если самый крайний левый бит в разрядной сетке представления числа содержит ( ) - это означает отрицательное двоичное число. На рис.2.5 представлен формат числа в двоичной системе счисления со знаковым битом.

Рисунок 2.5 - Формат числа в двоичной системе счисления со знаковым битом

Исходя из вышесказанного будем обозначать целые знаковые числа в виде:

, (2.1)

где - знаковый бит числа ( );

- цифры слева от запятой.

Неправильные дроби:

, (2.2)

где - знаковый бит числа ( );

- цифры слева от запятой;

- цифры справа от запятой.

А правильные дроби:

, (2.3)

где - знаковый бит числа ( );

- цифры справа от запятой.

В связи с тем, что алгоритмы выполнения операций в компьютерных системах имеют свою специфику, возникает проблема представления отрицательных чисел.

Ее решают за счет использования особых способов кодирования числовых данных.

Рассмотрим три наиболее распространенных кода, которые применяются на практике: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Прямой код. Наиболее естественный код.

Формируется следующим образом: в знаковый бит ( ) числа помещают знак числа ( - если число положительное и - если число отрицательное ), а остальные биты используют для абсолютного значения (модуля) числа.

Правило преобразования чисел в прямом коде можно записать следующим образом:

, (2.4)

где - вес старшего разряда в - разрядной сетке, .

Отображение числовой оси двоичных чисел на числовую ось - битных наборов (прямой код ) для компьютерной системы показано на рис. 2.6.

Рисунок 2.6 - Отображение числовой оси двоичных чисел на числовую ось - битных наборов (прямой код )

В табл.2.2. представленны данные с помощью которых построены числовые оси на рис.2.6.

Таблица 2.2 - Данные с помощью которых построены числовые оси на рис.2.6.

А₍₁₀₎	А₍₂₎	А_(ПК)	З наки
7	0111	0,111	+7
6	0110	0,110	+6
5	0101	0,101	+5
4	0100	0,100	+4
3	0011	0,011	+3
2	0010	0,010	+2
1	0001	0,001	+1
0	0000	0,000	+0
8	1000	1,000	-0
9	1001	1,001	-1
10	1010	1,010	-2
11	1011	1,011	-3
12	1100	1,100	-4
13	1101	1,101	-5
14	1110	1,110	-6
15	1111	1,111	-7

Диапазон представимых чисел: . Положительный момент заключается в удобстве операции ввода-вывода данных.

Отрицательный момент в том, что существует два представления ( ) и операция алгебраического сложения требует анализа знаков и модулей операндов, и выбора фактической операции сложения или вычитания.

Обратный код. Обратный - разрядный двоичный код положительного целого числа состоит из одноразрядного кода знака ( ), за которым следует ( ) разрядное двоичное представление модуля числа, то есть обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом.

Обратный - разрядный двоичный код отрицательного целого числа состоит из одноразрядного кода знака ( ), за которым следует ( ) разрядное двоичное число, представляющее собой инвертированное ( ) разрядное представление модуля числа, то есть для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные, а именно ( на , а на ) и в знаковый разряд заносится единица.

Обратный код числа определяется соотношением:

, (2.5)

где - максимальное число в - разрядной сетке.

Отображение числовой оси двоичных чисел на числовую ось - битных наборов (обратный код ) для компьютерной системы показано на рис. 2.7.

Рисунок 2.7 - Отображение числовой оси двоичных чисел на числовую ось - битных наборов (обратный код )

В табл.2.3 представленны данные с помощью которых построены числовые оси на рис. 2.7.

Таблица 2.3 - Данные с помощью которых построены числовые оси на рис.2.7.

А₍₁₀₎	А₍₂₎	А_(ПК)	З наки
7	0111	0,111	+7
6	0110	0,110	+6
5	0101	0,101	+5
4	0100	0,100	+4
3	0011	0,011	+3
2	0010	0,010	+2
1	0001	0,001	+1
0	0000	0,000	+0
1 5	1111	1,111	-0
14	1110	1,110	-1
13	1101	1,101	-2
12	1100	1,100	-3
11	1011	1,011	-4
10	1010	1,010	-5
9	1001	1,001	-6
8	1000	1,000	-7

Диапазон представимых чисел: . Положительный момент заключается в том, что при сложении обратных кодов чисел как беззнаковых чисел получаем обратный код суммы.

Отрицательный момент заключается в том, что существует два представления ( ) и при выполнении операций сложения в обратном коде требуется коррекция суммы с помощью циклического переноса единицы переполнения из знаковых разрядов суммы.

Дополнительный код. Наиболее распространенный способ представления отрицательных целых чисел в компьютерных системах.

Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения, чем упрощает архитектуру компьютерной системы.

Дополнительный код является дополнением числа до некоторого граничного числа . Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом.

Для получения дополнительного кода отрицательного числа существует три способа:

1) все цифры модуля исходного числа заменяются на взаимно обратные, то есть производится инверсия всех цифр числа, затем к полученному значению добавляется единица в младшем разряде;

2) из модуля числа вычитается ( ) младший бит, а затем инвертируются все разряды; 3) необходимо записать - битный модуль числа.

Затем просматривать число справа налево, сохранить все младшие нули и первую встретившуюся ( ), а остальные биты инвертировать.

Дополнительный код числа определяется соотношением:

, (2.6)

где равняется весу не существующего в данном числе разряда, расположенного слева от знаковой цифры.

Отображение числовой оси двоичных чисел на числовую ось - битных наборов (дополнительный код ) для компьютерной системы показано на рис. 2.8. Диапазон представимых чисел: .

Свойства дополнительного кода: при сложении чисел в дополнительном коде как беззнаковых чисел получаем дополнительный код суммы.

Знаковые биты суммируются обычным образом, а возникающий при их сложении перенос игнорируется; любое число в дополнительном коде можно считать младшими битами («хвостом») числа любой длины, если содержимое знакового бита копировать влево.

Рисунок 2.8 - Отображение числовой оси двоичных чисел на числовую ось - битных наборов (дополнительный код )

Эта операция называется расширением знака. Используется, когда исходные операнды в операциях сложения и вычитания имеют разную длину.

В табл.2.4 представленны данные с помощью которых построены числовые оси на рис.2.8.

Т аблица 2.4 - Данные с помощью которых построены числовые оси на рис.2.8.

А₍₁₀₎	А₍₂₎	А_(ПК)	Знаки
7	0111	0,111	+7
6	0110	0,110	+6
5	0101	0,101	+5
4	0100	0,100	+4
3	0011	0,011	+3
2	0010	0,010	+2
1	0001	0,001	+1
0	0000	0,000	0
15	1111	1,111	-1
14	1110	1,110	-2
13	1101	1,101	-3
12	1100	1,100	-4
11	1011	1,011	-5
10	1010	1,010	-6
9	1001	1,001	-7
8	1000	1,000	-8

Свойства кодов:

1. Операции должны выполняться над данными, представленными в одном и том же коде: , , ;

2. Положительные числа в , , не меняют своего представления;

3. Результат выполнения операций сложения и вычитания над числами, представленными в , , или , являются , , или соответственно;

4. Двоичный набор, представляющий ( ) в и , является запрещенной комбинацией;

5. В отличие от , , в нельзя отбрасывать нули после знакового разряда в целой части и нули в конце дробной части отрицательного числа (разрешается отбрасывать ).

Для корректного выполнения операций в компьютерной системе существует регистр флагов табл.2.5.

Таблица 2.5 - Регистр флагов - FLAGS

Бит	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Флаг	0	NT	IOPL		OF	DF	IF	TF	SF	ZF	0	AF	0	PF	1	CF

В регистре флагов, находится группа флагов, которые отвечают за корректность выполнения арифметических операций. Эти флаги, служат признаками, представляющими общую характеристику результата выполнения арифметических операций. Наиболее широко применяются следующие арифметические флажки:

- флажок переноса (Flag Carry), обозначаемый (FC). Устанавливается в (1) в двух случаях: 1)если при выполнении операции сложения имеет место перенос из старшего бита результата (представляет собой расширение результата на 1 бит влево); 2) если при выполнении операции вычитания имеет место заем (borrow) в старший бит. Это возможно в случае, если уменьшаемое меньше вычитаемого. Если операнды интерпретируются как беззнаковые числа, данный флажок является признаком переполнения компьютерной системы.В операциях над знаковыми числами самостоятельного значения не имеет.

- флажок вспомогательного переноса или дополнительный перенос (Flag Auxiliary), обозначаемый (FA). При сложении показывает перенос, а при вычитании - заем из младшей тетрады (бит 3) результата. Используется в операциях двоично-десятичной арифметики.

- флажок нуля (Flag Zero), обозначаемый (FZ). Признак нулевого результата. Устанавливается в (1) когда результат выполнения операции равняется (0).

- флажок знака (Flag Sign), обозначаемый (FS). Повторяет состояние знакового бита.

- флажок переполнения (Flag Overflow), обозначаемый (FО). В операциях над знаковыми числами показывает, находится ли результат внутри диапазона представимых чисел:

- – результат правильный;

- – возникло переполнение. Следует отметить, что (FO) устанавливается в (1), если перенос в старший разряд и из него не совпадают.

При выполнении операций сложения и вычитания чисел в дополнительных кодах обрабатывающее устройство компьютера не делает различий между знаковыми и беззнаковыми операндами.

То есть операнды должны интерпретироваться самим пользователем как знаковые или беззнаковые.

В операции вычитания используется дополнительный код вычитаемого.

Если длина операндов превышает длину машинного слова, то сложение и вычитание выполняют в несколько приемов, организуя программный цикл.

Операцию начинают с младших частей операндов, «продвигаясь» далее в сторону старших частей.

На каждом шаге должны обрабатываться возникающие переносы (или заемы), при этом могут возникнуть четыре случая.

Обозначения принятые на рис.2.9 - 2.11:

- над стрелкой обозначает - (нет);

- над стрелкой обозначает -(да);

- - знаковый бит;

- - старший значащий бит;

- - младший значащий бит.

Случай №1. При выполнении арифметической операции (рис.2.9) (а) возникла следующая ситуация:

1. Отсутствует переход из старшего значащего бита в знаковый.

2. Отсутствует переход из знакового бита за пределы разрядной сетки.

3. Флаг переполнения .

4. Флаг переноса .

5. Флаг знака повторяет значение знакового бита.

6. Флаг нуля , если результат выполнения арифметической операции получился равен нулю, то значение флага устанавливается равным единице, в противном случае - нулю.