3.2. Модели экспоненциального сглаживания Брауна, взвешенного среднего, Холта – Уинтерса и подобные
Модель экспоненциального сглаживания [14, 17, 18] обладает лучшей адаптивностью при моделировании, прогнозировании коротких нестационарных временных рядов по сравнению с другими известными методами. Из-за своей простоты реализации и удобства применения он широко используется при прогнозировании и моделировании процессов в радиоэлектронике [4, 7], системах диагностики и контроля, прогнозирования состояния различных технических объектов [27, 28].
Согласно метода
экспоненциального сглаживания вводится
понятие экспоненциальной средней p-го
порядка
для временного ряда
[29,30]:
,
(3.7)
,
,
,
где
и
– параметры сглаживания (
);
.
Итерационные формулы (3.7) можно записать через отсчеты временного ряда и экспоненциальных средних в виде:
,
где t=2,..,M (3.8)
В качестве прогнозирующего выбирают полином p-го порядка, в частности, полином первого порядка [29, 30]:
,
(3.9)
где
,
– коэффициенты полинома;
– упреждение прогноза.
Коэффициенты
,
полинома (3.9) вычисляются через
экспоненциальные средние
,
p=1,2, т.е. с использованием
двукратного экспоненциального сглаживания
. При этом несомненным достоинством
метода экспоненциального сглаживания
является адаптивность путем пересчета
коэффициентов
,
с приходом каждого нового измерения и
наибольший учет в модели информации
последних поступивших наблюдений
.
Определим основные формулы для адаптивного определения коэффициентов , при прогнозе, для этого в выражение (3.8) подставим (3.9):
(3.10)
(3.11)
Решив систему линейных уравнений (3.10), (3.11) относительно неизвестных коэффициентов , , получим [31]:
, (3.12)
. (3.13)
В большинстве источников по методам адаптивного прогнозирования и экспоненциального сглаживания [14, 17, 18, 29], судя по ссылкам и в первоисточнике (работа Р.Г. Брауна и Р.Ф. Мейера [30]), формулы (3.12) и (3.13) приводятся в упрощенном виде:
, (3.14)
. (3.15)
Такое упрощение
формул (3.12) и (3.13) можно использовать,
если прогнозируемый временной ряд
содержит большое число отсчетов
.
В общем же случае формулы (3.14), (3.15)
являются приближенными и легко показать,
что они совпадают с точными формулами
(3.12), (3.13) только в пределе:
и
.
В случае короткого
нестационарного временного ряда
электропотребления и при значениях
параметра сглаживания
формулы (3.14) и (3.15) при прогнозировании
вносят дополнительную погрешность
из-за невысокой адаптивности модели к
прогнозируемому процессу.
Использование новых формул (3.12), (3.13) при прогнозировании процессов позволяет говорить о новом уточненном методе экспоненциального сглаживания. Общая линейная прогнозирующая модель в этом случае примет вид [31]:
,
Выбор параметра сглаживания осуществляется на основе решения задачи минимизации среднеквадратической ошибки:
,
или минимизации
иной метрики вектора
.
Абсолютная погрешность
прогнозирования
на один шаг
определена по формуле
.
Метод экспоненциального сглаживания удобен при математическом моделировании радиоэлектронных систем, если моделируемый процесс имеет следующие особенности:
монотонный характер изменения без резких кратковременных скачков;
процесс изменения обусловлен действием большого количества внешних факторов, причем степень и характер влияния, состав влияющих факторов изменяется с течением времени;
процесс изменения является нестационарным в статистическом смысле, а временной ряд процесса относится к коротким временным рядам с числом отсчетов до 100.
Данный метод обладает достаточными робастными свойствами и зачастую дает положительные результаты в тех случаях, когда применение более сложных моделей для прогнозирования (типа ARX, ARIMA и т.п.) приводит к излишней чувствительности модели и неустойчивости прогнозирования.
Недостатками этого метода являются:
невозможность прямого учета в модели действия того или иного влияющего фактора (как, например, в ARX-модели);
использование прогнозирующих полиномов низкого порядка (первого, второго) из-за усложнения формул идентификации и отсутствия аналитически выведенных подобных формул.
Одна из попыток вывода общей аналитической формулы для прогнозирующих полиномов любого порядка метода экспоненциального сглаживания предпринята автором в работе [76].
Кроме перечисленных, к моделям временных рядов также относят модели Холта-Винтера, простейшего скользящего среднего и ряд других. Но они в той или иной степени являются упрощением или модификацией изложенных моделей, подробное их описание можно найти в литературе [14, 16 – 18, 32].