3.3. Спектральные статистические модели (канонические разложения, разложение Карунена – Лоэва, модели компонентного и факторного анализов)

При моделировании объектов электропотребления для соблюдения требуемой адекватности модели, возникает необходимость использования многомерных математических моделей, которые позволяют выявлять и учитывать явные и неявные взаимосвязи и закономерности, объективно существующие между параметрами – отсчетами графиков нагрузки [3, 23].

Для моделирования электропотребления предприятия необходим анализ совокупности показателей производственной деятельности предприятия, включающих технологические параметры, потребление ресурсов, исходного сырья, выпуска продукции, метеорологических факторов и т.п., что также требует использования многомерной математической модели.

Сложные технические системы, в том числе объекты радиоэлектроники за определенные интервалы времени могут быть всесторонне охарактеризованы при помощи наборов параметров (признаков) или, например, векторов дискретных реализаций V₁, V₂,…, V_N этих параметров.

При описании стохастической системы многомерной моделью используются методы многомерного статического анализа [12, 26], в которых набор параметров объекта для j-го момента времени представляется в виде координат (компонент) случайного вектора V_j=[V_1j, V_2j ,…, V_nj] ^T.

К основным задачам, решаемым многомерным статистическим анализом [12, 26] относятся: устранение коррелированности координат между собой векторов V₁, V₂,…, V_N ; снижение размерности пространства параметров L_n, модели объекта, т.е. представление многомерного случайного процесса V_=[V_1,V_2,…,V_n]^T через иной многомерный случайный процесс F_ =[f_1, f_2,…, f_m]^T меньшей размерности, m<n.

Однако глубоко проработаны эти вопросы в многомерном анализе только для случая стационарных случайных многомерных процессов, имеющих многомерный нормальный (гауссовский) закон распределения плотности вероятностей [11,12, 26]:

, (3.16)

где – ковариационная матрица многомерного процесса V; – алгебраическое дополнение элемента матрицы . Наиболее важная особенность n-мерного нормального закона распределения состоит в том, что он полностью определяется средними значениями (математическими ожиданиями) отдельных координат и ковариационной матрицей . Другая важная особенность нормального закона распределения (3.16) заключается в существовании многомерной центральной предельной теоремы [11, 25], которая утверждает, что распределение векторной суммы большого числа взаимно независимых n-мерных случайных величин стремится при достаточно общих условиях к нормальному n-мерному закону.

В случае устранения коррелированности координат многомерного процесса V , ковариационная матрица нового процесса F с некоррелированными координатами имеет диагональную ковариационную матрицу , а многомерная плотность вероятностей может рассматриваться как произведение одномерных независимых нормальных плотностей вероятностей :

. (3.17)

Этот факт (3.17) называют взаимной независимостью координат в вероятностном смысле. Таким образом, каждая координата случайного многомерного процесса F может моделироваться одна независимо от другой, в случае же процесса V независимое моделирование координат в общем случае недопустимо.

Перечисленные задачи многомерного анализа, в частности, могут решаться с помощью канонического разложения многомерного случайного вектора [10, 33]. Случайный вектор V с коррелированными в общем случае координатами в реализациях V₁, V₂,…,V_N и корреляционной матрицей

выражается через случайные вектора с некоррелированными координатами в реализациях следующим образом [10,33,34]:

(3.18)

где – вектор математического ожидания компонент вектора V; U_i – векторы координатных функций канонического разложения.

Преобразование (3.18) позволяет перейти от случайного многомерного процесса V_j с симметричной корреляционной матрицей K_V к процессу F_j с диагональной корреляционной матрицей . Так как приведение симметричной положительно определенной матрицы K_V к диагональной форме не является однозначным [35 – 37], то из этого следует, что для любого случайного вектора с конечным моментом второго порядка существует бесконечное множество канонических разложений [10, 33]. Если число координат вектора F равно n, то равенство (3.18) является точным и m = n [34].

Методика моделирования случайных многомерных процессов, подобная изложенной, широко используется в компонентном и факторном анализах [38 – 43]. В этих случаях при построении математических моделей объектов по экспериментальным данным Х учитывают ошибки измерений ξ:

(3.19)

Задача построения факторной модели (3.19) во многом подобна задаче канонического разложения (3.18). Однако в отличие от методов канонического разложения, когда известна корреляционная матрица K_V моделируемого процесса, в данном случае по результатам наблюдения можно получить только оценку корреляционной матрицы K_Х многомерного процесса X, содержащего ошибку. Если задаться, что случайные процессы Х и ξ некоррелированы, то корреляционную матрицу K_Х можно представить следующим образом:

.

В случае, если задаться, что ошибки измерения некоррелированы, то матрица К_ξ диагональная. Следовательно, недиагональные элементы матриц К_Х, К_V с одинаковыми индексами равны

.

Таким образом, недиагональные элементы матрицы К_Х можно принять равными соответствующим элементам матрицы K_V, но диагональные элементы матриц К_Х и K_V не равны из-за ошибки измерения. Отсюда задача построения факторной модели (3.19) сводится к нахождению канонического разложения вектора V_j при неизвестных диагональных элементах его корреляционной матрицы [38 – 40].

Существуют два основных подхода построения факторной модели многомерного случайного процесса. Первый (компонентный) подход заключается в том, что каноническое разложение многомерного процесса Х заменяется каноническим разложением процесса V. Определяются первые m<n слагаемых (главных компонент) в сумме из (3.19), а все оставшиеся n – m члены суммы, обеспечивающие точное воспроизведение, переносятся в ошибку ξ. В данном случае естественно, что компоненты изменившегося вектора ошибки ξ станут коррелированными. Однако выбор m слагаемых в (3.19) осуществляют так, что минимизируется евклидова норма ковариационной матрицы ошибки воспроизведения процесса, т.е.:

, где .

Данный подход реализован в компонентных методах моделирования, в частности, в методе главных компонент (МГК) [38 – 42], в дискретном разложении Карунена – Лоэва (ДРКЛ) [34, 43, 44]. Данный подход также используется как аппарат в задачах математической редукции измерений [77], т.е. математической обработки результатов измерений таким образом, чтобы свести к минимуму искажающее влияние помех и непосредственно процесса измерения или прибора (редукция – приближение измерений к объекту).

Другой подход, относящийся к методологии факторного анализа, состоит в замене неизвестных факторных дисперсий или общностей (диагональных элементов матрицы К_V) произвольными или подобранными по некоторому методу положительными числами [38 – 42]. В этом случае m координатных функций в сумме модели (3.19) выбирается из условия минимизации ковариации в векторе ошибок [45]:

Оба этих подхода позволяют сократить размерность модели (3.19) или моделируемого пространства, что равнозначно сокращению числа координат получаемого многомерного процесса F. Число координат процесса F сокращают до m (m<n) и это сокращение, в том или ином смысле, минимально ухудшает точность моделирования многомерного процесса.

Если сравнить эти подходы, то, при равном количестве используемых для воспроизведения многомерного процесса V координат процесса F, первый подход будет обеспечивать в среднем меньшую ошибку моделирования. Кроме того, во втором подходе для получения координатных функций необходимо осуществить операции по обращению практически вырожденных матриц, что может увеличивать ошибку моделирования.

Положительным свойством компонентного подхода (МГК, ДРКЛ) является возможность оценки в процессе получения координатных функций вклада каждой из них в точность воспроизведения (моделирования) по (3.19) многомерного процесса V (оценка информативности координат) [45].

Компонентный подход может использоваться на практике при решении задач моделирования как в детерминированной, так и статистической постановках. В детерминированной постановке он позволяет получить наилучшую проекцию совокупности точек наблюдений в пространство меньшей размерности [34, 40]. В статистической постановке он дает возможность выделить обобщенные случайные величины, имеющие максимально возможную дисперсию [12, 41, 42]. Одним из преимуществ этого подхода является то, что он является линейным и аддитивным.

Каждой компоненте или слагаемому в выражении (3.19), содержащему координатную функцию , зачастую можно придать конкретный физический смысл в соответствии с механизмом моделируемого процесса.

Основой рассматриваемых подходов вообще является описание набора наблюдаемых факторов (координат), действующих на объект меньшим числом “скрытых”, но объективно существующих факторов (координат). При этом исключается линейная корреляция между этими факторами (координатами) и в модели учитывается меньшее их число, не ухудшая при этом точность моделирования.

Широкое распространение факторные и компонентные подходы получили в теории распознавания образов, в которой они используется для сжатия признакового пространства, т.е. выбора небольшого числа наиболее информативных признаков, характеризующих исследуемый процесс или объект [21, 34].

При решении технико-экономических задач эти подходы применяются при анализе производственной деятельности предприятий или отраслей промышленности, а также для разработки математических моделей управления производственным процессом [17, 41, 42].

В известных приложениях к задачам электроэнергетики компонентный (спектральный) подход применяется для моделирования и прогнозирования нагрузок не постоянно, а сезонно контролируемых узлов электрических сетей [1], при оптимизации систем компенсации реактивной мощности [46, 47], при решении задач прогнозирования остаточных составляющих нагрузки в энергосистемах [1, 4].

В химии этот подход применяется для описания наборов данных, относящихся к изучению состава и физико-химических свойств веществ и соединений, для анализа данных химии окружающей среды (экология) и в биомедицинских исследованиях [48 – 52].

Недостатком моделей многомерной статистики, компонентных и факторных моделей является то, что в общем случае они были теоретически обоснованы для случая многомерных стационарных процессов, имеющих нормальный многомерный закон распределения. Только в этом случае правомерно и обосновано применение ковариационных и корреляционных матриц, канонических разложений и т.п. [12, 25, 26, 38 – 42]. Иное применение данных моделей для других частных случаев нестационарных и нелинейных процессов, как правило, никак не обосновывается [78].