Потенциальная энергия

Часть пространства, в которой на помещенную туда материальную точку действует сила, зависящая от места положения точки, называется силовым полем.

Причем, эта сила определяется с помощью силовой функции u = u(x, y, z). Если она не зависит от времени, то такое поле называется стационарным. Если во всех точках она одинакова, то поле – однородное.

Если же проекции силы на декартовы оси есть частные производные от силовой функции по соответствующим координатам

, , ,

то такое поле называется потенциальным.

Работа силы потенциального поля при перемещении точки из положения М₁ в положение М_2.

где u₂ и u₁ – значения силовой функции в точках М₂ и М₁.

Следовательно, работа силы потенциального поля не зависит от траектории движения точки, а определяется лишь значениями силовой функции в начальном и конечном положениях точки.

Естественно, если точка вернется в начальное положение, работа силы будет равна нулю. Работа окажется равной нулю и при переходе в другую точку М₃, если там значение силовой функции будет такое же, как и в начальном положении.

Точки с одинаковыми значениями силовой функции будут образовывать целую поверхность. И что силовое поле – это слоеное пространство, состоящее из таких поверхностей. Эти поверхности называются поверхностями уровня или эквипотенциальными поверхностями. Уравнения их: u(x, y, z) = C (C – постоянная, равная значению u в точках этой поверхности). А силовую функцию называют, соответственно, потенциалом поля.

Выберем среди этих поверхностей какую-нибудь одну и назовем ее нулевой поверхностью (положим у нее u = u₀).

Работа, которую совершит сила при переходе точки из определенного места М на нулевую поверхность, называют потенциальной энергией точки в этом определенном месте М:

П = А = u₀ – u.

Проекции силы на декартовы оси:

; ;

1. Поле силы тяжести.

Вблизи поверхности Земли сила тяжести во всех точках одинакова

П = А = Ph.

2. Поле упругой силы.

При деформации упругого тела, например пружины, появляется сила. То есть около этого тела возникает силовое поле, силы которого пропорциональны деформации тела и направлены в сторону недеформированного состояния. У пружины – в точку М₀, где находится конец недеформированной пружины.

Е сли перемещать конец пружины так, чтобы длина ее не изменялась, то работа упругой силы будет равна нулю. Значит эквипотенциальными поверхностями являются сферические поверхности с центром в точке О.

Назначим нулевой поверхностью сферу, проходящую через точку М₀, через конец недеформированной пружины. Тогда потенциальная энергия пружины в положении М :

При таком выборе нулевой поверхности потенциальная энергия всегда будет положительной (П >0), и в растянутом, и в сжатом состоянии.

Кинетическая энергия

Кинетической энергией материальной точки массой m , движущейся с абсолютной скоростью v называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек системы.

Теорема Кенига. Кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс.