Теорема о работе равнодействующей

Теорема: работа равнодействующей системы сил на каком-то участке пути равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же участке пути.

Пусть к материальной точке М приложена система сил (F₁, F₂, F₃,...F_n), равнодействующая которых равнаF_Σ (рис. 3).

Система сил, приложенных к материальной точке, есть система сходящихся сил, следовательно,

F_Σ = F₁ + F₂ + F₃ + .... + F_n.

Спроецируем это векторное равенство на касательную к траектории, по которой движется материальная точка, тогда:

F_Σ cos γ = F₁ cos α₁ + F₂ cos α₂ + F₃ cos α₃ + .... + F_ncos α_n.

Умножим обе части равенства на бесконечно малое перемещение ds и проинтегрируем полученное равенство в пределах какого-то конечного перемещения s:

∫ F_Σ cos γ ds = ∫ F₁ cos α₁ ds + ∫ F₂ cos α₂ ds + ∫ F₃ cos α₃ ds + .... + ∫ F_n cos α_n ds,

что соответствует равенству:

W_Σ = W₁ + W₂ + W₃ + ... + W_n

или сокращенно:

W_Σ = ΣW_Fi

Теорема доказана.

***

Теорема о работе силы тяжести

Теорема: работа силы тяжести не зависит от вида траектории и равна произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения.

Пусть материальная точка М движется под действием силы тяжести G и за какой-то промежуток времени перемещается из положения М₁ в положение М₂, пройдя путь s (рис. 4).  На траектории точки М выделим бесконечно малый участокds, который можно считать прямолинейным, и из его концов проведем прямые, параллельные осям координат, одна из которых вертикальна, а другая горизонтальна.  Из заштрихованного треугольника получим, что

dy = ds cos α.

Элементарная работа силы G на пути ds равна:

dW = F ds cos α.

Полная работа силы тяжести G на пути s равна

W = ∫ Gds cos α = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh.

Итак, работа силы тяжести равна произведению силы на вертикальное перемещение точки ее приложения:

W = Gh;

Теорема доказана.

***

Пример решения задачи по определению работы силы тяжести

Задача: Однородный прямоугольный массив АВСD массой m = 4080 кг имеет размеры, указанные на рис. 5.  Определить работу, которую необходимо выполнить для опрокидывания массива вокруг ребра D.

Решение. Очевидно, что искомая работа будет равна работе сопротивления, совершаемой силой тяжести массива, при этом вертикальное перемещение центра тяжести массива при опрокидывании через ребро D является путем, который определяет величину работы силы тяжести.

Для начала определим силу тяжести массива: G = mg = 4080×9,81 = 40 000 Н = 40 кН.

Для определения вертикального перемещения h центра тяжести прямоугольного однородного массива (он находится в точке пересечения диагоналей прямоугольника), используем теорему Пифагора, исходя из которой:

КО₁ = ОD – КD = √(ОК² + КD²) – КD = √(3² +4²) - 4 = 1 м.

На основании теоремы о работе силы тяжести определим искомую работу, необходимую для опрокидывания массива:

W = G×КО₁ = 40 000×1 = 40 000 Дж = 40 кДж.

Задача решена.

***



Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу

Представим себе диск, вращающийся вокруг неподвижной оси под действием постоянной силы F (рис. 6), точка приложения которой перемещается вместе с диском. Разложим силу F на три взаимно-перпендикулярные составляющие: F₁ – окружная сила, F₂ – осевая сила, F₃ – радиальная сила.

При повороте диска на бесконечно малый угол dφ силаF совершит элементарную работу, которая на основании теоремы о работе равнодействующей будет равна сумме работ составляющих.

Очевидно, что работа составляющих F₂ и F₃ будет равна нулю, так как векторы этих сил перпендикулярны бесконечно малому перемещению ds точки приложения М, поэтому элементарная работа силы F равна работе ее составляющей F₁:

dW = F₁ds = F₁Rdφ.

При повороте диска на конечный угол φ работа силы Fравна

W = ∫ F₁Rdφ = F₁R ∫ dφ = F₁Rφ,

где угол φ выражается в радианах.

Так как моменты составляющих F₂ и F₃ относительно оси z равны нулю, то на основании теоремы Вариньона момент силы F относительно оси z равен:

М_z(F) = F₁R.

Момент силы, приложенной к диску, относительно оси вращения называется вращающим моментом, и, согласно стандарту ИСО, обозначается буквой Т:

Т = М_z(F), следовательно, W = Tφ.

Работа постоянной силы, приложенной к вращающемуся телу, равна произведению вращающего момента на угловое перемещение.

***