1.4. Погрешности элементарных функций

Пример 1.14.

Исходные числовые значения аргумента заданы цифрами, верными в строгом смысле. Найти абсолютную и относительную погрешности функции. Определить количество верных цифр в строгом смысле по относительной погрешности в следующих элементарных функциях:

а) cos(0,47);

б) у = е^-3,1;

в) у = ;

г) у = ln(68,214).

Решение.

а) Находим значение величины х. Оно будет равно 0,891568.

Абсолютная погрешность аргумента е_0,47 = 0,005.

Тогда абсолютная и относительная погрешности величины х равны:

е_cos(0,47) = │sin(0.47)│ ∙ 0.005 = 0,00226443;

δ_cos(0,47) = │tan(0.47)│ ∙ 0.005 = 0,00253983 ≤ 0.005 = 0,5 ∙ 10^-2.

Это означает, что в числе 0,891568 две цифры после запятой верны в строгом смысле.

Ответ: 0,892.

б) Находим значение величины у. Оно будет равно 0,0450492.

Абсолютная погрешность аргумента е_у = 0,05. Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

е_х = │е^-3,1│ ∙ 0,05 = 0,0225246;

δ_у = 0,05 = 0,5 ∙ 10^-1.

Это означает, что в числе 0,0450492 одна цифра после запятой верна в строгом смысле.

Ответ: 0,04.

в) Находим значение величины у. Оно будет равно 4,6378875.

Абсолютная погрешность аргумента е_у = 0,005. Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

е_у = = 1,078077 ∙ 10^-3;

δ_у = = 2,3245002 ∙ 10^-4 < 0.5 ∙ 10^-3;

Это означает, что в числе 4,6378845 три цифры после запятой верны в строгом смысле.

Ответ: 4,6378.

г) Находим значение величины у. Оно будет равно 4,2226498.

Абсолютная погрешность аргумента е_у = 0,0005. Тогда абсолютные и относительные погрешности величины у равны:

е_у = = 7,3298736 ∙ 10^-6;

δ_у = = 1,7358469 ∙ 10^-6 < 0,5 ∙ 10^-5.

Это означает, что в числе 4,2226498 пять цифр после запятой верны в строгом смысле.

Ответ: 4,222649.

Пример 1.15.

Вычислить значение величины с помощью метода строгого учета границ абсолютных погрешностей после каждой операции.

А = , если а = 12,34, b = 14,3.

Решение.

При пооперационном строгом учете ошибок промежуточные результаты после округления до одной запасной (с учетом вычисленной параллельно величины погрешности) и их погрешности заносят в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Расчетная таблица для вычисления

погрешности выражения А =

а b + ln(a) b + ln(a) A

1 2,34 14.3 3.513 3.78 7.30 2.5129 16.81 0.434

e_a e_b e e e e e_{b + ln(a)} e_A

0.005 0.05 0.00071 0.0066 0.0073 0.0004 0.05041 0.0017

Значения погрешностей для удобства округлим до двух значащих цифр по избытку и тоже занесем в таблицу.

Цифры даны верными в строгом смысле, значит, е_а = 0,005, е_b = 0,05.

Найдем = 3,51283. Абсолютная погрешность равна (воспользуемся табл. 1.1):

е_а = = 0,0007117 ≈ 0,00071.

Из полученного значения погрешности видно, что в результате верны две значащие цифры после запятой, т. е.

= 3,51283 ≈ 3,513.

Это число внесем в таблицу.

Найдем абсолютную погрешность = 3,781534.

Она будет равна е_b = = 0,0066107 ≈ 0,0066.

Значит, в числе b будет одна верная цифра после запятой.

Аналогично находим значения всех остальных действий и функций:

е = 0,00071 + 0,0066 = 0,00731 ≈ 0,0073;

е_ln(а) = = 0,000405 ≤ 0,0005;

е_{b + ln(a)} = 0.05 + 0.000405 = 0.050405 ≤ 0.5;

е_А = = = 0,0017.

Округляя результат А до верной цифры, получаем окончательный ответ.

Ответ: А = 0,434 ± 0,002.