1.6. Обратная задача теории погрешностей

На практике очень часто необходимо уметь решать обратную задачу: каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины.

Пусть величина предельной абсолютной погрешности Δ_u задана.

Тогда

Δ_u = .

Предполагая, что все слагаемые равны между собой, будем иметь:

.

Отсюда

Δ .

В случае, когда предельная абсолютная погрешность всех аргументов x_i одна и та же, то

;

.

Пример 1.20.

Радиус основания цилиндра R ≈ 2 м; высота цилиндра H ≈ 3 м. С какими абсолютными погрешностями нужно определить R и H, чтобы объем цилиндра V можно было вычислить с точностью до 0,1 м³?

Решение.

Объем вычисляется по формуле V = πR²H и Δ_V = 0.1 м³. Подставляя все исходные данные, приближенно получим:

;

;

.

Отсюда, т. к. n = 3, то, воспользовавшись формулой для вычисления погрешности функции, зависящей от трех переменных

,

будем иметь:

;

;

.

Таблица 1.2. Погрешности значений элементарных функций

Ф ункция Абсолютная погрешность Относительная погрешность

sin(x)

cos(x)

tg(x)

ln(x)

lg(x)

e_x e^x ∙ e_x x ∙ δ_x

10^x 10^x ∙ ln(10) ∙ e_x ln(10) ∙ e_x

x^y x^y

arcsin(x)

arcos(x)

arctg(x)

0. Вопросы по теме

1. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

2. Как классифицируются виды ошибок?

3. Что значит цифра, верная в строгом, широком смыслах?

4. Как находится погрешность округленного числа?

5. Как определить количество верных цифр по относительной погрешности приближенного числа?

6. Как распространяются абсолютная и относительная погрешности в арифметических действиях?

7. Как осуществить оценку погрешности значений элементарных функций?

8. Как формулируется обратная задача теории погрешности?

9. Каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины?

10. В каких случаях используется метод границ?

1.8. Задания к лабораторной работе № 1

Задание 1.1.

Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры (табл. 1.3):

а) в строгом смысле; б) в широком смысле.

Таблица 1.3. Варианты заданий для выполнения самостоятельной

работы

Задание 1.2.

Число х (табл. 1.4.), все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата х₁ ≈ х вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа х₁ указать количество верных цифр по абсолютной и относительной погрешностям

Таблица 1.4. Варианты заданий для выполнения самостоятельной

работы

Задание 1.3.

Вычислить значение величины z (табл. 1.5) при заданных значениях чисел a, b и c,используя систематический учет абсолютных погрешностей после каждой операции, а также с помощью метода границ. Найти абсолютную и относительную погрешности z и определить по ним количество верных цифр в z, если цифры a, и b с верны в строгом смысле.

Таблица 1.5. Варианты заданий для выполнения самостоятельной

работы

№	Задание	Исходные данные	№	Задание	Исходные данные
1		a = 0,317 b = 3,27 c = 4,7561	21		a = 12,72 b = 0,34 c =0,0290
2		a = 0,0399 b = 4,83 c =0,0721	22		a = 3,49 b = 0,845 c = 0,0037
3		a = 1,0574 b = 1,40 c = 1,1236	23		a = 0,0976 b = 2,371 c = 1,15887
4		a = 82,3574 b = 34,12 c = 7,00493	24		a = 11,7 b = 0,0937 c = 5,081
5		a = 3,71452 b = 3,03 c = 0,756	25	z =	a = 18,035 b = 3,7251 c = 0,071
6	z =	a = 0,11587 b = 4,256 c = 3,00971	26	z =	a = 5,7568 b = 21,7 c = 2,65
7	z =	a = 4,05 b = 6,723 c = 0,03254	27	z =	a = 5,33 b = 23,123 c = 8,802
8	z =	a = 0,7219 b = 135,347 c = 0,013	28	z =	a = 6,0031 b = 1,005 c = 1,6135
9	z =	a = 0,113 b = 0,1056 c = 89,4	29	z =	a = 0,037 b = 5,777 c = 3,441
10	z =	a = 1,247 b = 0,346 c = 0,051	30	z = =	a = 8,317 b = 13,521 c =6,123
11	z =	a = 0,038 b = 3, 9353 c = 5,75	31	z =	a = 5,387 b = 13,527 c = 0,7565
12	z =	a = 7,345 b = 0,31 c = 0,09871	32	z =	a = 1,75 b = 1,215 c = 0,041
13	z =	a = 0,2471 b = 0,0948 c = 4,378	33	z =	a = 3,672 b = 4,63 c = 0,0278
14	z =	a = 1,284 b = 4,009 c = 3,2175	34	z =	a = 13,57 b = 3,7 c = 4,226
15	z =	a = 18,407 b = 149,12 c = 2,3078	35	z =	a = 0,317 b = 13,57 c = 0,751
16	z =	a = 29,49 b = 87,878 c = 4,403	36	z =	a = 0,317 b = 33,827 c = 14,85
17	z =	a = 74,079 b = 5,3091 c = 6,234	37	z =	a = 5,52 b = 3,27 c = 14,123
18	z =	a = 3,4 b = 6,22 c = 0,149	38	z =	a = 9,542 b = 3,128 c = 0,17
19	z =	a = 9,79 b = 2,3327 c = 4,198	39	z =	a = 5,147 b = 6,222 c = 0,0075
20	z =	a = 6,66 b = 3,5 c = 1,141	40	z =	a = 2,258 b = 0,027 c = 9,87

Задание 1.4.

Решить следующие задачи, используя метод границ.

1. Длина воздушной трассы между двумя пунктами равна S км. Самолет преодолевает это расстояние за время t ч. Определить границы средней скорости самолета, если 4950 ≤ S ≤ 5050; 5,9 ≤ t ≤ 6,1.

2. Электроплитка рассчитана на напряжение 220 ± 10 В. Найти сопротивление спирали электроплитки, если известно, что через нее должен пройти ток 5 ± 0,1 А.

3. Медный брусок имеет объем V м³ (0,0064 ≤ V ≤ 0,0065). Найти его массу, если плотность меди γ кг/м³ составляет 8899 ≤ γ ≤ 8901.

Задание 1.5.

Решить следующие задачи, используя общую формулу погрешности.

1. Удельное электрическое сопротивление ρ металла круглого провода длиной l м с поперечным сечением d мм и сопротивлением R Ом определяется по формуле ρ = . Найти ρ, если: l = 12,50 ± 0,01 м, d = 2,00 ± 0,01 мм. R = 0,068 ± 0,0005 Ом, π = 3,141 ± 0,001. Определить относительную погрешность ρ.

2. Вертикальный цилиндрический резервуар наполнен жидкостью. Определить время, необходимое для опорожнения резервуара через круглое отверстие в дне. Диаметр резервуара D = 1 ± 0,01 м, высота уровня жидкости Н = 2± 0,02 м, диаметр отверстия дна d = 0.03 ± 0,001 м, коэффициент расхода μ=0,61± 0,02. Расчет (в секундах) ведется по формуле