2.3. Метод простой итерации

Пример 2.3.

Решить уравнение методом простой итерации с точностью ɛ = 0,001.

Решение.

Схема решения уравнения методом простой итерации следующая.

1. Отделяем корни.

2. Приводим исходное уравнение к виду х = f(х).

Заменим уравнение уравнением вида .

Здесь величина m должна быть подобрана так, чтобы для функции f(x) выполнились условия 2 и 3 теоремы о достаточном условии сходимости итерационного процесса.

Производная Fˈ(х) на отрезке [1,5; 2,5] отрицательна, следовательно, функция F(х) на этом отрезке монотонно убывает. Ее значения представлены на рис. 2.7.

1,7408
1,4812
1,1422
0,7099
0,1686
-0,5
-1,3166
-2,305
-3,4923
-4,9093
-6,5912

F(х) =

Рис. 2.7. Значение функции

на отрезке [1,5; 2,5]

Тогда значения функции f(x) будут равны:

f(1.5) = 1,5 – m∙1,741;

f(2,5) = 2,5 – m∙(-6,591).

Учитывая монотонность функции f(x), из последних равенств легко заметить, что условие 2 указанной теоремы будем заведомо выполнено, если m – правильная отрицательная дробь (рис. 2.8).

x = 1,5; 1,6…2,5 F(x) = (2 – x)∙e^x – 0,5

Рис.2.8. Определение значения m

Поскольку производная Fˈ(x) на концах интервала [1,5; 2,5] положительна (Fˈ(1,5) = 2,241, Fˈ(2,5) = 18,274) и монотонно возрастает, ее модуль имеет максимум на правом конце отрезка. Тогда если за m принять число , то для любого х из отрезка [1,5; 2,5] значение выражения будет правильной отрицательной дробью. Это обеспечивает выполнение условия 2 теоремы (рис.2.9.).

Для выполнения условия 3 указанной выше теоремы 2.2 найдем производную преобразованной функции

и ее значения на концах отрезка [1,5; 2,5].

Условие 3 теоремы выполнено: значения производных меньше единицы. За величину q возьмем число 0,877 (рис. 2.9.).

f(x) = x – mF(x)

Рис. 2.9. Определение значения q

3. Вычисляем значения итерационной последовательности .

В качестве начального значения возьмем, например, начало отрезка, точку х₀ = 1,5.

Критерием достижения заданной точки ɛ = 0,001 при решении нашего уравнения методом простой итерации является величина, равная 1,398∙10^-5 (рис. 2.10).

q = 0,877

A = 1.398∙10^-5

Рис. 2.10. Определение критерия достижения

заданной точности q

4. Строим итерационную последовательность (рис. 2.11).

i = 1..25 x₀ = a z(x) = x – mf(x)

x_i = z(x_i-1)

Рис. 2.11. Построение итерационной последовательности

по методу простой итерации

Для 24-го приближения получили, что ˂ 1,398∙ 10^-5 ˂А. Отсюда следует, что х₂₃ = 1,92718 является приближенным решением нашего уравнения.

5. Создаем функцию, реализующую метод простой итерации, для решения уравнения x = f(x) по методу простой итерации (составляется аналогично рассмотренным выше методам).

6. Визуализируем решение уравнения методом простой итерации (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Визуализация решения уравнения F(x) = (2 – x)∙e^x – 0,5