Задача 5
Варианты 1-5. Предприятие может выпускать три вида продукции (А, Б, В), получая при этом прибыль, зависящую от спроса. Спрос в свою очередь может принимать одно из четырех состояний (I,II,III,IV). В следующей матрице элементы aik характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции и k-м состоянии спроса
I II III IV
Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, считая состояние спроса полностью неопределенным, гарантируя при этом среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.
Варианты 7,9,17,19. Каждый из игроков А и В записывает одно из чисел 1•№, 4•№, 6•№, 9•№, затем они одновременно показывают написанное. Если оба числа оказались одинаковой четности, то сумму этих чисел выигрывает А, если разной - выигрывает В. Составить платежную матрицу, определить цену игры и стратегии игроков.
Варианты 11-15. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую оно может сразу отправить потребителю (стратегия А), отправить на склад для хранения (стратегия Б), или подвергнуть дополнительной обработке (стратегия В) для длительного хранения.
В свою очередь потребитель может немедленно приобрести эту продукцию (стратегия I), приобрести ее в течение небольшого отрезка времени (II) или затребовать ее после длительного периода времени (III).Если предприятие выберет стратегию А, то дополнительные затраты на хранение и обработку продукции не потребуются. Однако, если при этом потребитель применит стратегию II или III, то предприятие потерпит убытки из-за порчи части продукции. Наоборот, если предприятие выберет стратегию В, а потребитель - стратегию I, то возникнут неоправданные расходы на консервацию продукции. Определить оптимальное соотношение между продукцией, отправляемой потребителю на склад и на дополнительную обработку при следующей матрице затрат:
I II III
Варианты 6,8,10,16,18,20. Игрок А может записать одну из цифр: либо 2+№, либо 4+№, либо 7+№; игрок В может записать одну из цифр: либо 1+№, либо 3+№, либо 4+№, либо 8+№. Если обе цифры окажутся одинаковой четности, то их сумму выигрывает игрок А, если разной четности- то игрок В. Составить платежную матрицу, определить цену игры и стратегии игроков.
Варианты 21-25. Магазин может завезти в различных пропорциях товары трех типов (А,Б и В ). Их реализация, а следовательно, и получаемая магазином прибыль зависят от состояния спроса и вида товара. Предполагая, что спрос может характеризоваться тремя состояниями (I,II,III) и учитывая, что спрос связан с изменением моды и прогнозирование его невозможно, определить оптимальные пропорции в закупке товаров из условия средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибылей:
I II III
Образец решения. (Военная игра) Имеется 2 противника и 2 позиции. Один противник – полковник, второй – генерал. У полковника 4 полка, у генерала – 3 полка. Каждый из этих противников хочет занять данные позиции. Взятие позиции оценивается выигрышем в единицу. Каждый из противников может послать на любую позицию только целое число полков или совсем не посылать. Позиция считается занятой тем, кто послал на нее большее количество полков; выигрыш составляет единицу за счет взятия позиции плюс количество единиц, совпадающее с числом полков противника, не занявшего позицию. Если у позиции оказывается одинаковое число полков и генерала и полковника, то выигрыш обоих составляет 0. Общий выигрыш каждого участника равен сумме его выигрышей у обеих позиций и то, что получил один из противников, считается потерей для другого.
Мы снова имеем матричную игру, так как у полковника и генерала противоположные интересы и выигрыш одного получается за счет проигрыша другого.
Возможные поведения игроков описываются стратегиями {a, b}, где a – количество полков, посланных данным игроком на первую позицию; b – число полков посланных им на вторую позицию.
Стратегии для полковника:
{4,0} – все полки послать на первую позицию;
{0,4} – все полки послать на вторую позицию;
{3,1} – 3 полка послать на первую позицию и 1 на вторую;
{1,3} – 1 полк послать на первую позицию и 3 на вторую;
{2,2} – на обе позиции послать по 2 полка.
Стратегии для генерала:
{3,0} – на первую позицию послать все 3 полка;
{0,3} – на вторую позицию послать 3 полка;
{2,1} – на первую позицию послать 2 полка, на вторую – один;
{1,2} – на первую позицию послать 1 полк, на вторую – два.
Итак, полковник имеет 5 стратегий, генерал – 4. Формирование матрицы игры производится по сформулированным правилам для выигрыша полковника. Например, если полковник применяет вторую стратегию, а генерал – третью, то на первую позицию полковник не пошлет ни одного полка, а генерал пошлет 2 полка. Полковник потеряет первую позицию, значит его выигрыш равен –1. На вторую позицию полковник пошлет 4 полка, а генерал – один. Полковник занимает вторую позицию и получит 1 за выигрыш плюс 1 за один полк генерала. Значит, a23 = 2 – 1 = 1.
Пусть, например, полковник применит свою 5-ю стратегию, а генерал – вторую. Тогда на первую позицию полковник пошлет 2 полка, а генерал ни одного; полковник выигрывает 1+0=1. На вторую позицию полковник пошлет 2 полка, а генерал – 3. При этом генерал занимает позицию и выигрывает 1+2=3. Следовательно, общий выигрыш полковника a52 = 1 – 3 = –2.
Проанализировав все возможные варианты, получаем матрицу игры:
.