Задание 3

По данным примера 2.2 произвести оценку математического ожидания и среднего квадратического отклонения при условии, что испытания прекращали при достижении базы N_б = 0,5·10⁶ циклов, т.е. x_б = lg N_б = 5,6990.

По таблице 2.2 находим m = 66 и по формуле (2.20) вычисляем:

W = = 0,175.

По формуле (2.21)

y = = 0,6716.

По таблице 2.5 для W = 0,175 и y = 0,6716 путём линейной интерполяции находи u = –0,984.

По таблице 2.6 находим

φ₁(–0,984) = 1,4456

По формуле (2.23) производим оценку среднего квадратического отклонения s = 0,2675

По формуле (2.22) производим оценку математического ожидания

= = 5,69897– 0,984 · 0,2675 = 5,4357.

Задание 4

По результатам примера 2.1 определить 90 %-ные доверительные интервалы для генерального среднего значения, если = 404,75; s = 12,4606.

По таблице 2.6 для k = 16 – 1 = 15 и α = 0,1 находим t_0,1 = 1,7535.

На основании формулы (2.26)

404,75 – 1,7535 < a < 404,75 + 1,7535;

399,2876 < a < 410,2124

В случае цензурированной выборки доверительный интервал для доверительной вероятности Р = 1 – α приближённо определяют из выражения

(2.27)

Задание 5

По результатам таблицы 2.2 определить 90 %-ные доверительные интервалы для генерального среднего значения, если = 5,4357; s = 0,2675; u = –0,9842 (см. пример 2.3).

Для α = 0,1 по таблице 2.7 находим

z_0,05 = -1,282;

z_0,95 = 1,282.

По найденному в примере 2.3 u = –0,9842 по таблице 2.6

φ₂(0,9842) = 1,054.

На основании (2.27)

5,4357– 1,282 < a < 5,4357+ 1,282

5,3963< a < 5,4750

Доверительный интервал для генеральной дисперсии σ² с доверительной вероятностью Р = 1 – α

. (2.28)

Обычно принимают Р₁ = α/2 и Р₂ = 1 – Р₁ = 1 – α/2.

Границы доверительных интервалов для генерального среднего квадратического отклонения σ находят путём извлечения квадратного корня из значений доверительных границ для генеральной дисперсии.

Задание 6

По результатам примера 2.1 определить 90 %-ные доверительные интервалы для генеральных дисперсии и среднего квадратического отклонения, если s² = 155,2667 .

По таблице 2.9 для k = n – 1 = 15 находим

χ_0,05² = 25;

χ_0,95² = 7,26.

На основании (2.28)

155,2667 < σ² < 155,2667 ;

93,16< σ² < 320,7989;

9,651943< σ < 17,91086.

В случае цензурированной выборки доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения приближённо определяют из выражения

< σ < . (2.29)

Задание 7

В условиях примера 2.2 определить 90 %-ные доверительные интервалы для генерального среднего квадратического отклонения значения логарифма, если s = 0,2675 и u = –0,9842

Для α = 0,1 по таблице 2.7 находим

z_0,05 = -1,282

z_0,95 = 1,282

φ₃(u) = φ₃(–0,9842) = 0,6707

На основании (2.35)

< σ < ;

0,2394< σ < 0,3031

Задание 8

Определить необходимый объём испытаний образцов с целью оценки среднего значения, если α = 0,05 и Δ_a = 0,07. Данные о коэффициенте вариации при аналогичных испытаниях отсутствуют.

Задаёмся коэффициентом вариации γ = 0,03. По таблице 2.7 для p = 1-0,05/2=0,975 находим z_0,975 = 1,96 и по формуле (2.31) определяем

n = 1,96² ≈ 0, 71

Принимаем

n = 1

Если цель планируемых испытаний – оценка среднего квадратического отклонения характеристики, то объём выборки определяют методом подбора по формуле

(1 + Δ_σ)² = , (2.35)

где Δ_σ – максимальная относительная ошибка (допуск) при оценке среднего квадратического отклонения случайной величины при нормальном законе распределения; χ²_α/2 и χ²_0,5 – квантили уровня Р = α/2 и Р = 0,5 статистики χ² (таблица 2.9).

Значение ошибки Δ_σ следует выбирать в зависимости от требований к точности оценки среднего квадратического отклонения характеристики. При низкой точности принимают Δ_σ = 0,4 … 0,5, при средней точности Δ_σ = 0,25 … 0,35 и при высокой точности Δ_σ = 0,1 … 0,2.

При n ≥ 15 для определения объёма выборки вместо (2.35) можно воспоьзоваться приближённой формулой

n = 1,5 + , (2.36)