Задание 4

В результате испытаний двух партий 30 образцов и 20 образцов соответственно найдены выборочные средние значения и дисперсии предела прочности сплава. α = 0,1.

= 47; s₁² = 88.

= 45; s₂² = 105

Требуется проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий предела прочности материала при альтернативной гипотезе σ²₁ ≠ σ²₂.

В соответствии с соотношением (3.10)

F = = 0,8381.

Для принятого уровня значимости α = 0,1; k₁ = n₁ – 1 = 27 и k₂ = n₂ – 1 = 29 по таблице 3.3 находим

F_1–α/2 = F_0,95 = 1,8751 и сопоставляем с вычисленным значением

F = 0,8381< F_0,95 = 1,8751

Заключение: дисперсии однородны.

КРИТЕРИЙ РАВЕНСТВА ДИСПЕРСИЙ РЯДА ГЕНЕРАЛЬНЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ

Нулевая гипотеза в этом случае заключается в том, что все m генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, имеют равные дисперсии, т.е. σ²₁ = σ²₂ = … = σ²_m = σ².

Задание 5

Испытано на растяжение 5 серий по 20 образцов. Значения выборочных дисперсий составляют: s²₁ = 88; s²₂ = 105; s²₃ = 94; s²₄ = 197. Требуется проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий предела прочности материала при альтернативной гипотезе σ²₁ ≠ σ²₂.

По формуле (3.11)

F_max = = 1,1932

По таблице 3.4 для α = 0,05; m = 3 и k = 30 – 1 = 29

F_{max 0.05} = 4,05

Условие (3.11) выполняется

Заключение: дисперсии равны друг другу.

Критерий Кочрена. Используется также при равных объёмах отдельных выборок и является предпочтительным по сравнению с критерием Хартлея в случаях, когда одна из выборочных дисперсий значительно больше остальных, а также при m > 12.

Находят статистику

G_max = ≤ G _α. (3.12)

При выполнении неравенства нулевую гипотезу не отвергают. В противном случае – отвергают и принимают альтернативную гипотезу.

Задание 6

Проверить нулевую гипотезу Н₀: σ²₁ = σ²₂ = … = σ² по условию примера 3.5

По формуле (3.12)

G_max = = 0,3659

По таблице 3.5 для α = 0,05; m = 5 и k = 20 – 1 = 19

G _α = G _0,05 = 0,4999

Условие (3.12) выполняется

Заключение: гипотеза принимается.

Задание 7

Для условий примера 3.4 проверить гипотезу о равенстве средних значений. (n₁ = 28, = 47, s²₁ = 82; n₂ = 30, = 45, s²₂ = 105).

При решении примера 3.4 было показано, что гипотеза о равенстве генеральных дисперсий (σ²₁ = σ²₂ = σ²) не противоречит опытным данным. В связи с этим по формуле (3.17) находим оценку генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения:

s² = = 96,8036;

s = = 9,8389.

По формуле (3.18) вычисляем статистику

t = = 0,7736

.

Задавшись α = 0,1 (для k = 30 + 28 – 2 = 56> 30 t_α ≈ z_1–α/2), по таблице 2.8 находим критическое значение t_0,1 = 1,645.

В связи с тем, что условие (3.19) не выполняется, нулевую гипотезу о равенстве средних значений отвергаем.

Задание 8

По результатам испытаний провести дисперсионный анализ с целью проверки равенства средних значений

									ni		s2i
1	156	154	164	156	158	161	163	160	8	159	12,86
2	166	161	168	168	169	161			6	165,5	13,10
3	153	153	158	163	160	156			6	157,17	15,77
4	173	165	159	165	161	171	169		7	166,14	26,48
5	153	163	168	169	156				5	161,8	50,70
6	174	171	169	168	163				5	169	16,50
7	158	159	158	168	154	158	163		7	159,71	20,24
8	178	174	168	173	172	169			6	172,33	13,07
9	161	163	172	153	156				5	161	53,50
10	161	171	169	169	168	163			6	166,83	15,37
11	156	158	171	163	160	158	163		7	161,29	25,24

Учитывая, что в каждой партии число образцов n_i ≥ 5 и объёмы выборок неодинаковые, проверку однородности дисперсий производим по критерию Бартлета

По формуле (3.13) вычисляем статистику

χ² = = 6,431202,

где с = 1 + = 1,07251;

s² = = 22,6494.

В таблице 2.10 для α = 0,1 и числа степеней свободы k = m – 1 = 10

χ²_0,01 = 16

Условие (3.16) выполняется

χ² = 6,431202 < χ²_0,01 = 16

Следовательно дисперсии можно считать однородными.

Оценку генерального среднего производим по формуле (3.21)

= = 163,41.

Межпартийная компонента дисперсии (3.22) (число степеней свободы k₁ = 11 – 1 = 10)

s²₁ = = 134,1456.

Внутрипартийная (остаточная) компонента дисперсии (3.23) (число степеней свободы k₂ = – m = 68– 11 = 57)

s²₂ = = 22,6494

Дисперсионное отношение

F = s²₁ / s²₂ = 5,922708.

Меньше табличного (таблице 3.3)

В этом случае все рассматриваемые результаты испытаний принадлежат одной генеральной совокупности, распределённой нормально с параметрами

= 163,41.

s² = 22,64937.