2.12.4. Задание дополнительных параметров трехмерных графиков.

Заметим, что среди многочисленных параметров функций, создающих и отображающих поверхности, могут присутствовать пары типа

('Свойство', значение)

инициализирующие значения соответствующих свойств. Так, например, можно непосредственно изменить свойство EdgeColor построенного объекта типа surface, используя команду shading interp:

>> set(hmesh,'FaceColor','interp')

Разумеется, можно получить информацию о всех свойствах графического объекта типа surface:

>> hmesh=mesh(X,Y,Z)

hmesh =

174.0062

>> get(hmesh)

AlphaData: 1

AlphaDataMapping: 'scaled'

Annotation: [1x1 hg.Annotation]

CData: [21x41 double]

CDataMapping: 'scaled'

DisplayName: ''

EdgeAlpha: 1

EdgeColor: 'flat'

FaceAlpha: 1

FaceColor: [1 1 1]

LineStyle: '-'

LineWidth: 0.5000

Marker: 'none'

MarkerEdgeColor: 'auto'

MarkerFaceColor: 'none'

MarkerSize: 6

MeshStyle: 'both'

XData: [21x41 double]

YData: [21x41 double]

ZData: [21x41 double]

FaceLighting: 'none'

EdgeLighting: 'flat'

BackFaceLighting: 'reverselit'

AmbientStrength: 0.3000

DiffuseStrength: 0.6000

SpecularStrength: 0.9000

SpecularExponent: 10

SpecularColorReflectance: 1

VertexNormals: [21x41x3 double]

NormalMode: 'auto'

BeingDeleted: 'off'

ButtonDownFcn: []

Children: [0x1 double]

Clipping: 'on'

CreateFcn: []

DeleteFcn: []

BusyAction: 'queue'

HandleVisibility: 'on'

HitTest: 'on'

Interruptible: 'on'

Selected: 'off'

SelectionHighlight: 'on'

Tag: ''

Type: 'surface'

UIContextMenu: []

UserData: []

Visible: 'on'

Parent: 173.0057

XDataMode: 'manual'

XDataSource: ''

YDataMode: 'manual'

YDataSource: ''

CDataMode: 'auto'

CDataSource: ''

ZDataSource: ''

Поверхность графика можно трактовать как материальную поверхность с определенными физическими свойствами по отражению света, которые следует задавать явным образом. Ввиду того, что разные материалы, очевидно, по-разному отражают падающие лучи, можно подобрать некоторый материал, чтобы получить наилучшее (с точки зрения пользователя) изображение. В частности, используя функцию с аргументом copper

>> colormap(copper)

можно установить цвет поверхности, аналогичный цвету медной поверхности (copper – в переводе с английского языка «медь»). Последующее использование команд

>> surfl(X,Y,Z)

>> shading interp

позволяет получить вполне реалистично выглядящий и наглядный график, представленный на рис. 2.12.8.

Поясняя данный пример, перечислим ниже стандартные цветовые палитры (colormap), доступные для использования: cool (оттенки голубого и пурпурного цветов), gray (оттенки серого цвета (традиционно используется, в частности, при подготовке графика к печати на черно-белом принтере)), hot (плавное изменение следующих цветов: белый – желтый – оранжевый – красный – черный), hsv (плавное изменение цветов радуги), jet

Рис. 2.12.8. Визуализация поверхности с использованием функции surfl (режим цветовой палитры – copper; режим shading interp).

(плавное изменение следующих цветов: красный – желтый – зеленый – голубой – синий (используется по умолчанию)), copper (дополнительная палитра с оттенками медного цвета), autumn (дополнительная палитра с плавным изменением следующих цветов: желтый – оранжевый – красный), winter (дополнительная палитра с оттенками синего и зеленого цветов), summer (дополнительная палитра с оттенками желтого и зеленого цветов), spring (дополнительная палитра с оттенками желтого и пурпурного цветов), pink (дополнительная палитра с оттенками коричневого цвета).

Изменять цветовую палитру можно с помощью функции

colormap('название палитры')

С помощью команды colormap('default') можно вернуться к палитре, используемой по умолчанию.

Использованная в вышеприведенном примере функция surfl «предполагает», что в пространстве расположен некоторый источник света, освещающий поверхность. Такие поверхности выглядят более естественно, если заменить заданную по умолчанию палитру цветов такими палитрами как gray, copper, pink и задать сглаживание цветов на графике с помощью команды shading interp.

Вообще, многие приемы оформления трехмерных графиков совпадают с теми, что уже были представлены ранее при рассмотрении двумерных графиков функций, зависящих от одной переменной. В частности, для масштабирования удобно использовать функцию axis, в которую в трехмерном случае следует передать три пары скалярных аргументов:

axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax])

Для трехмерных графиков, как и для двумерных, можно использовать функции xlabel (выводит название оси ), ylabel (выводит название оси ), zlabel (выводит название оси – относительно новая, но очевидная команда), title (добавляет заголовок графика) и legend (добавляет легенду графика), а также наносить отметки на осях координат посредством функции set. Для того, чтобы разместить несколько трехмерных графиков в одном графическом окне, можно воспользоваться функцией subplot.

К числу достаточно эффективных методов дополнительного оформления трехмерных графиков можно отнести возможность вызвать функцию mesh с суффиксом z, т.е. функцию meshz, использование которой приводит к построению «графика с пьедесталом» – из каждой граничной точки каркасной поверхности опускается перпендикуляр на плоскость и при достаточно мелком шаге сетки создается впечатление «занавеса, опущенного по краям изображения». Так, например, график, приведенный на рис. 2.12.9, строится с помощью следующей последовательности команд:

>> [X,Y]=meshgrid(-2:0.1:2);

>> Z=X.*exp(-X.^2-Y.^2);

>> colormap(gray)

>> meshz(X,Y,Z)

Все трехмерные графики, рассмотренные ранее, визуализировались, по сути, лишь из одной точки обзора, т.е. оси координат , и на изображении всегда были ориентированы (повернуты) одинаково. Тем не менее, в системе MATLAB имеется возможность, изменяя точку обзора, рассмотреть созданное изображение с разных сторон.

Точка обзора – это позиция, с которой пользователь видит трехмерное изображение. Расположение точки обзора определяется двумя параметрами: азимутом /az/ (т.е. углом, изменение которого означает вращение плоскости вокруг оси против хода часовой стрелки (отсчитывается от оси, противоположной , в направлении против часовой стрелки)) и углом возвышения /el/ (т.е. углом между отрезком, направленным из начала координат в точку обзора и плоскостью ). Заметим, что расстояние от точки обзора до изображения при этом не учитывается.

Заметим, что по умолчанию для функций mesh, surf и surfl установлены значения az=-37.5 (градусов) и el=30 (градусов). Убедиться в этом можно посредством функции view, обратившись к ней должным образом:

>> [az,el]=view

az =

-37.5000

el =

30

Рис. 2.12.9. Визуализация функции с «пьедесталом».

Функция view также позволяет изменить положение точки обзора, причем возможны сразу несколько вариантов ее вызова, в частности:

view([az,el])

view([x,y,z])

view(2)

view(3)

В первом случае входными аргументами рассматриваемой функции являются значения азимута и угла возвышения, во втором – декартовы координаты точки обзора, а третий и четвертый варианты обращения позволяют вернуться к значениям азимута и угла возвышения, принятых по умолчанию для двумерных (az=0 (градусов) и el=90 (градусов)) и трехмерных изображений (az=-37.5 (градусов) и el=30 (градусов)) соответственно.

В частности, если после построения представленного на рис. 2.12.9 «графика с пьедесталом» выполнить команду view([-20,25]), то график изменит свой вид, поскольку мы уменьшили угол возвышения с 30 градусов до 25 градусов, а угол азимута изменили с -37.5 градусов на значение равное -20 градусам. В результате точка получаем, что обзора графика находится больше сбоку и преимущественно вдоль одной из независимых координат (рис. 2.12.10).

Отметим, что рассмотренную операцию изменения ориентации в пространстве трехмерного графика можно выполнить и с помощью панели инструментов графического окна.

Рис. 2.12.10. Поверхность, задаваемая функцией (угол возвышения 25 градусов, азимутный угол -20 градусов).

Рассмотрим в качестве еще одного важного характерного примера задачу отображения функции при и при условии расположения точки обзора снизу (рис. 2.12.11):

>> [X,Y]=meshgrid(-2:0.1:2);

>> Z=-2*X.*exp(-X.^2-Y.^2);

>> surf(X,Y,Z)

>> view(-37.5,-20)

Альтернативным и существенно более простым способом изменения точки обзора в системе MATLAB является использование специальной кнопки на панели инструментов графического окна Figure.

Если в графическом окне отображается трехмерный график, эта кнопка ( ) имеет название Rotate 3D (вращать трехмерное изображение). Если навести указатель мыши на данную кнопку, щелкнуть левой кнопкой мыши по кнопке Rotate 3D, после чего навести указатель мыши на трехмерное изображение, нажать левую кнопку мыши, и, не отпуская ее перемещать указатель мыши по экрану, то положение фигуры (и соответственно точки обзора) будет меняться, а в левой нижней части графика будут отображаться значение параметров az и el, соответствующие текущему положению трехмерной фигуры. Если же навести указатель на фигуру и щелкнуть по правой кнопке мыши, то отобразиться контекстное меню с командами, поз-

Рис. 2.12.11. Вид поверхности снизу.

воляющими вернуться к положению фигуры по умолчанию, а также выбрать одну из трех проекций графика (на плоскости , , ). В частности, на рис. 2.12.12 показана проекция поверхности на плоскость (это положение соответствует команде view(0,0)).

Для того, чтобы установить точное соответствие между цветом, отображенным на трехмерном графике, и значением функции, можно воспользоваться командой colorbar, после вызова которой рядом с графиком появляется столбик с текущей цветовой палитрой и цифрами, определяющими значения функции. Этой команде соответствует кнопка ( ) Insert Colorbar (добавить цветовую палитру) на панели инструментов графического окна Figure. Так, например, если ввести в командное окно команду colorbar либо щелкнуть на кнопке Insert Colorbar левой кнопкой мыши графическое окно с трехмерным изображением, показанным на рис. 2.12.11, примет вид, представленный на рис. 2.12.13.

Еще большей реалистичности в визуализации трехмерных объектов можно добиться, задавая параметры освещенности для объекта.

Для проявления отдельных участков поверхности графика, отображаемого в системе MATLAB, имеется возможность включения дополнительных источников освещения, реализованных в виде графических объектов типа light. Свет от такого рода источников смешивается с рассеянным фоновым освещением (Ambientlight), цвет и сила которого встроены в виде

характеристик в объекты axes (свойство AmbientLightColor) и surface (свойство AmbientLight).

Рис. 2.12.12. Проекция на плоскость .

Рис. 2.12.13. Добавление цветовой палитры на график.

В частности, для примера, показанного на рис. 2.12.9,

>> hsurfl=surfl(X,Y,Z)

hsurfl =

174.0081

>> set(hsurfl,'FaceLighting','phong','FaceColor','interp');

>> set(hsurfl,'AmbientStrength',0.5);

>> light('Position',[1 0 0],'Style','infinite');

>> light('Position',[1 0 0],'Style','infinite');

задаются такие свойства поверхности (свойства графического объекта типа surface), которые влияют на результирующее изображение при использовании дополнительных источников света. Далее создается такой источник в позиции, определяемой его свойством Position, и испускающий параллельные лучи (style=infinite, т.е. бесконечно удаленный источник).

Кроме того, можно задать цвет дополнительного источника подсветки поверхности графика (свойство Color объекта light). Для того, чтобы сделать источник света более сильным, следует продублировать его несколько раз, создавая все новые источники в том же месте и с теми же свойствами, при этом дескрипторы каждого вновь создаваемого источника света нужно запоминать в соответствующих переменных. При соблюдении этого условия впоследствии можно будет с помощью функции set изменять их свойства и суммарную силу (мощность) света (для выключения конкретного источника необходимо задать его свойство Color равным black), добиваясь желаемого внешнего вида графика. По сути, именно здесь проявляется важное преимущество системы MATLAB при работе с ней в интерактивном режиме: можно оперативно оценить достигнутый результат и, если что-то не нравится, выполнить отдельные части работы (а не всю работу) заново.

По умолчанию источник света (например, при использовании команды surfl) имеет следующие координаты: az=7.5 (градусов) и el=30 (градусов). Положение источника света можно также изменить, задав дополнительным входным аргументом функции surfl вектор, включающий новые значения азимута и угла возвышения. Так, например, можно задать источник света, совпадающий с точкой обзора можно, использовав следующий набор команд:

>> [az,el]=view

>> surfl(X,Y,Z,[az,el])

Создать источник света можно иначе и другим альтернативным способом – посредством функции camlight. Ниже перечислены некоторые возможные варианты вызова последней:

camlight headlight – создать источник освещения, расположение которого совпадает с точкой обзора;

camlight right (или camlight) – создать источник освещения, находящийся правее и выше точки обзора;

camlight left – создать источник освещения, находящийся левее и выше точки обзора;

camlight(az,el) – создать источник информации с требуемыми координатами.

Многократное применение функции camlight с разными аргументами позволяет создать несколько источников света, расположенных в разных местах. Как уже отмечалось выше, вид освещенной поверхности во многом зависит от материала поверхности. В системе MATLAB управлять свойствами материала, из которого создана поверхность, позволяет функция material, однако результаты вызова указанной функции становятся видны лишь после освещения поверхности источником света. Ниже указаны несколько вариантов вызова функции material:

material shiny – сделать поверхность блестящей;

material dull – сделать поверхность матовой;

material metal – сделать поверхность «металлической»;

material default – задать свойства материала поверхности, принятые по умолчанию.

Система MATLAB позволяет рассмотреть трехмерный объект, изображенный в графическом окне, не только с разных сторон, но и с различного расстояния (по аналогии с объективом виртуальной камеры). Имеются возможности для приближения и удаления трехмерных изображений, их перемещения и вращения относительно различных координатных осей (т.е., по сути, выполнять роль виртуального фотографа). Реализовать перечисленные функции позволяет специальная панель инструментов графического окна, которая называется Camera (камера) и показана на рис. 2.12.14.

Рис. 2.12.14. Панель инструментов Camera.

Для того, чтобы отобразить данную панель следует выбрать в инструментальной панели графического окна раздел меню View, после чего отметить в ниспадающем меню пункт Camera Toolbar. После щелчка на нужной кнопке на этой панели управлять положением объекта и камеры можно либо с помощью мыши, либо посредством клавиш со стрелками. Заметим, впрочем, что все команды панели инструментов Camera продублированы в контекстном меню, которое можно открыть, щелкнув на изображении правой кнопкой мыши.

Итак, для трехмерных графиков также существует возможность изменять свойства условной камеры, фиксирующей сцену с графиком: можно менять положение этой камеры, расстояние от стены, а также свойства ее объектива (это достаточно мощные способы влиять на изображения). Изменять свойства указанной камеры можно с помощью дескрипторного метода.

Как уже отмечалось ранее, графическим объектом, соответствующим поверхности трехмерного графика функции, является объект типа surface. Дескриптор такого объекта возвращается функциями mesh, surf и surfl. Объект surface, в свою очередь, является наследником объекта axes, получить описатель которого можно, вызвав функцию gca, которая возвращает описатель текущего объекта axes (в ситуациях, когда создано несколько таких объектов, перед вызовом функции следует щелкнуть левой клавишей мыши на выбираемом объекте axes). Получив описатель, далее можно функцией set изменять свойства объекта axes, в частности, свойства, связанные с камерой, фиксирующей сцену с расположенным на ней трехмерным графиком. Приведем список соответствующих свойств объекта axes:

>> hA=gca

hA =

173.0057

>> get(hA)

ActivePositionProperty = outerposition

ALim = [0.1 10]

ALimMode = auto

AmbientLightColor = [1 1 1]

Box = off

CameraPosition = [-18.2628 -23.8006 4.33013]

CameraPositionMode = auto

CameraTarget = [0 0 0]

CameraTargetMode = auto

CameraUpVector = [0 0 1]

CameraUpVectorMode = auto

CameraViewAngle = [10.3396]

CameraViewAngleMode = auto

CLim = [-0.428838 0.428838]

CLimMode = auto

Color = [1 1 1]

CurrentPoint = [ (2 by 3) double array]

ColorOrder = [ (7 by 3) double array]

DataAspectRatio = [4 4 1]

DataAspectRatioMode = auto

DrawMode = normal

FontAngle = normal

FontName = Helvetica

FontSize = [10]

FontUnits = points

FontWeight = normal

GridLineStyle = :

Layer = bottom

LineStyleOrder = -

LineWidth = [0.5]

MinorGridLineStyle = :

NextPlot = replace

OuterPosition = [0 0 1 1]

PlotBoxAspectRatio = [1 1 1]

PlotBoxAspectRatioMode = auto

Projection = orthographic

Position = [0.13 0.11 0.775 0.815]

TickLength = [0.01 0.025]

TickDir = out

TickDirMode = auto

TightInset = [0.0571429 0.05 0.0303571 0.00238095]

Title = [175.006]

Units = normalized

View = [-37.5 30]

XColor = [0 0 0]

XDir = normal

XGrid = on

XLabel = [176.006]

XAxisLocation = bottom

XLim = [-2 2]

XLimMode = auto

XMinorGrid = off

XMinorTick = off

XScale = linear

XTick = [-2 -1 0 1 2]

XTickLabel =

-2

-1

0

1

2

XTickLabelMode = auto

XTickMode = auto

YColor = [0 0 0]

YDir = normal

YGrid = on

YLabel = [177.006]

YAxisLocation = left

YLim = [-2 2]

YLimMode = auto

YMinorGrid = off

YMinorTick = off

YScale = linear

YTick = [-2 -1 0 1 2]

YTickLabel =

-2

-1

0

1

2

YTickLabelMode = auto

YTickMode = auto

ZColor = [0 0 0]

ZDir = normal

ZGrid = on

ZLabel = [178.006]

ZLim = [-0.5 0.5]

ZLimMode = auto

ZMinorGrid = off

ZMinorTick = off

ZScale = linear

ZTick = [-0.5 0 0.5]

ZTickLabel =

-0.5

0

0.5

ZTickLabelMode = auto

ZTickMode = auto

BeingDeleted = off

ButtonDownFcn =

Children = [174.009]

Clipping = on

CreateFcn =

DeleteFcn =

BusyAction = queue

HandleVisibility = on

HitTest = on

Interruptible = on

Parent = [1]

Selected = off

SelectionHighlight = on

Tag =

Type = axes

UIContextMenu = []

UserData = []

Visible = on