Часть 4. Стандартные средства решения некоторых типовых задач линейной алгебры и математического анализа

§ 2.17. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Как уже отмечалось, в MATLAB для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) предусмотрены знаки операций «/» и «\». Второй из этих знаков уже использовался в предыдущем параграфе именно для решения СЛАУ.

В общем случае операция «\» называется «левым делением матриц» и, будучи примененная к матрицам A и B в виде A\B, подобна вычислению выражения inv(A)*B, где под inv(A) понимается вычисление матрицы, обратной к матрице A.

Операция «/» называется «правым делением матриц». Выражение A/B подобно вычислению выражения B*inv(A), т.е. данная операция позволяет, в частности, решать СЛАУ вида Y*A=B.

§ 2.18. Решение некоторых задач линейной алгебры. Матричные функции

При решении СЛАУ целесообразно оценить обусловленность матрицы коэффициентов системы, определяющую чувствительность численного решения к небольшим изменениям исходных данных.

В MATLAB имеются следующие функции для оценки числа обусловленности матрицы:

cond(A) – возвращает число обусловленности матрицы как отношение наибольшего сингулярного числа матрицы A к наименьшему (если соответствующий результат близок к единице, то матрица хорошо обусловлена);

condeig(A) – возвращает вектор, содержащий числа обусловленности собственных значений матрицы A;

rcond(A) – возвращает обратную величину числа обусловленности матрицы A (значения, близкие к единице, свидетельствуют о хорошей обусловленности, а близкие к нулю – о плохой);

det(A) – возвращает значение определителя (детерминанта) матрицы A;

rank(A) – возвращает значение ранга матрицы A;

norm(A) – возвращает норму матрицы A (наибольшее по абсолютной

величине сингулярное число);

trace(A) – возвращает след матрицы, который равен сумме значений элементов матрицы, расположенных на главной диагонали;

orth(A) – возвращает ортонормированный базис для разложения матрицы A [20,21,27,40,45,46,51,95,96,117-120,134,135,238];

rref(A) – приводит расширенную матрицу СЛАУ n-го порядка к виду [E v], где E – единичная матрица n-го порядка, v – вектор-столбец, содержащий решение СЛАУ;

rrefmovie(A) – результат аналогичен результату, возвращаемому функцией rref, но при этом выводится информация о каждой выполняемой операции и получаемом при этом результате;

inv(A) – возвращает обратную матрицу (для квадратной невырожденной матрицы (определитель такой матрицы не равен нулю); матрица называется обратной для матрицы A, если при умножении матрицы на матрицу A справа и слева получаем единичную матрицу);

pinv(A) – возвращает псевдообратную матрицу (для заданной матрицы A псевдообратная матрица P имеет размеры (транспонированной матрицы A) и удовлетворяет условиям A*P*A=A и P*A*P=P (заметим, что псевдообратная матрица строится на основе сингулярного разложения));

chol(A) – возвращает разложение (разложение матрицы – это в общем случае представление матрицы в виде суммы или произведения нескольких матриц определенного вида) Холецкого для симметричной положительно определенной матрицы A, т.е. верхнюю треугольную матрицу T такую, что T’*T=A;

lu(A) – возвращает результат LU-разложения матрицы A (разложение на нижнюю треугольную и верхнюю треугольную матрицы; если к этой же функции обратиться в виде [L,U]=lu(A), то она вернет верхнюю треугольную матрицу (U), нижнюю треугольную матрицу (L), причем будет справедливо равенство A=L*U; обращение вида [L,U,P]=lu(A) позволит также получить матрицу перестановки строк, такую что P*A=L*U);

qr(A) – возвращает QR-разложение матрицы A (разложение на унитарную и верхнетреугольную матрицы);

d=eig(A) – возвращает вектор d, координаты (элементы) которого есть собственные значения (собственные числа) матрицы A;

[V,D]=eig(A) – возвращает матрицу собственных векторов V (собственные векторы расположены по столбцам) и диагональную матрицу D собственных значений (матрица Жордана (элементы, расположенные на ее главной диагонали есть собственные значения матрицы A); каноническая форма матрицы A), т.е., по сути, определяется разложение Жордана (но при условия отсутствия в матрице Жордана жордановых клеток порядка, большего единицы) и справедливо равенство A*V=V*D;

s=svd(A) – возвращает вектор, элементы которого являются искомыми сингулярными числами (сингулярными значениями);

[U,S,V]=svd(A) – возвращает диагональную матрицу S (элементами матрицы S являются и унитарные матрицы U (элементами матрицы U являются ортонормированные собственные векторы, соответствующие наибольшим собственным значениям матрицы A*A') и V (элементами матрицы V являются ортонормированные собственные векторы, соответствующие наибольшим собственным значениям матрицы A*A'), такие, что имеет место равенство A=U*S*V;

[U,T]=shur(A) – возвращает ортогональную (унитарную) матрицу U и верхнюю треугольную матрицу T (по диагонали матрицы T расположены собственные значения матрицы A), такие, что имеет место равенство A=U*T*U';

[V,J]=jordan(A) – возвращает жорданово разложение матрицы A, где J – жорданова форма матрицы A; V – матрица, столбцы которой образуют жорданов базис.

В системе MATLAB также имеются функции cdf2rdf, hess, qz и rsf2csf осуществляющие приведение матриц к некоторым специальным формам. Для вычисления функций от матриц используются функции с суффиксом m, например, expm, logm и sqrtm, которые в отличие от функций exp, log, sqrt, вычисляющих значения функций поэлементно, выполняют вычисления с квадратными матрицами по правилам линейной алгебры, используя разложения математических функций в степенные ряды.

Рассмотрим пример решения некоторых задач линейной алгебры:

>> A=[2 -3 1; 1 2 -6; 5 1 1];

>> cond(A)

ans =

2.4374

>> det(A)

ans =

100

>> rank(A)

ans =

3

>> [V,D]=eig(A)

V =

-0.6085 + 0.0000i 0.1224 + 0.3873i 0.1224 - 0.3873i

0.6172 + 0.0000i 0.7355 + 0.0000i 0.7355 + 0.0000i

-0.4988 + 0.0000i 0.3184 - 0.4390i 0.3184 + 0.4390i

D =

5.8626 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i

0.0000 + 0.0000i -0.4313 + 4.1075i 0.0000 + 0.0000i

0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.4313 - 4.1075i

Пусть решается однородная СЛАУ (Ax=0). Тогда, как известно, такая СЛАУ может иметь нетривиальные (ненулевые) решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы равен нулю. Заметим, что, если решение такой системы существует, то это некоторое пространство решений. В линейном пространстве множество решений однородной СЛАУ образует подпространство размерности n-r. Базис этого подпространства можно найти посредством применения функции null, которая допускает несколько вариантов обращения:

Z=null(A) – выполняется вычисление матрицы Z, столбцы которой представляют собой ортонормированный базис пространства решений;

Z=null(A,’r’) – выполняется вычисление матрицы Z, столбцы которой представляют собой некоторый рациональный базис пространства решений;

В обоих рассмотренных случаях справедливо равенство Az=0.