7 Построение лах (Логарифмической амплитудной характеристики) и лфх (Логарифмической фазовой характеристики)
Для построении ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы запишем её передаточную функцию:
. (47)
Далее запишем отдельно вторую скобку знаменателя уравнения (47), приравняем её к нулю, для того, чтобы определить корни этого уравнения
.
(48)
Решая квадратное уравнение (48) с помощью программы Mathcat, получим следующие 2 отрицательных мнимых корня:
Из этого следует, что квадратное уравнение (48) запишется как колебательное звено:
.
(49)
.
,
(50)
Следовательно передаточная функция разомкнутой системы примет следующий вид:
.
(51)
Для построения ЛАХ и ЛФХ системы (50) используем методику построения [1].
1. Находим частоты сопряжения асимптот и . И значение .
, (52)
,
(53)
,
,
(54)
,
(55)
(56)
2. Разметка системы координат.
С учетом полученного
диапазона частот сопряжения наносим
сетку в системе координат (СК): по оси
ординат (для ЛАХ L(ω)-дб,
для ЛФХ φ(ω)-рад, град.) по оси абсцисс
(ω, lgω)
в диапазоне частот ω
(1,4500).
Ось ординат проводим через ω=1. Нанесем
частоты:
,
на оси абсцисс и проведем через них
вертикальные вспомогательные пунктирные
линии. Масштабы: по оси частот декада –
100мм, по оси ординат 1дб, 1град. – 1мм.
Проведем через точку (L(ω)=
20.40.60.80, ω=10) вспомогательные асимптоты
под наклоном
(20,40,60,80)
дб/дек.
3.Построение асимптотической ЛАХ.
Постоим звено
W(p)=
/p.
Отложим L(ω)=
при ω=1 и проведем через эту точку прямую
под наклоном -20 дб/дек пунктирно (ЛАХ
интегрирующего звена построена). Далее,
двигаясь по этой прямой из точки при
ω=1 вправо до пересечения с вертикальной
прямой, проведенной через
,
соответствующей частоте сопряжения
колебательного звена. Следовательно,
асимптота L(ω),
сделав излом частоте сопряжения
,
пойдет вниз под наклоном -60 дб/дек до
пересечения со следующей частотой
сопряжения
,
соответствующей апериодическому звену.
После
асимптота идет под наклоном -80 дб/дек.
Далее, для построения L(ω),
в соответствии ПФ (50) введем поправки к
построенной ЛАХ на частотах:
,
.
Достроим ЛАХ с учетом этих поправок.
4. Построение лфх.
Для построения
ЛФХ воспользуемся шаблонами, которые
были построены для функций:
;
,
:
.
При построении
исходя из передаточной функции
на частотах
и
строятся шаблоны, а для получения общей
фазовой характеристики необходимо
геометрически сложить построенные ЛФХ
по шаблонам. Построение
ЛАХ и ЛФХ передаточной
функции разомкнутой системы
приведено в приложении 1 и выделено
красной линией.
Формулировка:
Согласно критерию
Найквиста-Михайлова для того, чтобы
система, устойчивая в разомкнутом
состоянии и имеющая амплитудно-фазовую
характеристику первого рода, была
устойчивая в замкнутом состоянии,
необходимо и достаточно на тех частотах,
при которых логарифмическая
амплитудно-частотная характеристика
не отрицательна, т.е.
иметь значение фазы φ(ω), не превосходящее
-π. В соответствии с критерием
Найквиста-Михайлова,
исходная передаточная функция моделируемой
системы не устойчива.