3.2. Системи з паралельним з'єднанням елементів

Системою з паралельним з'єднанням елементів називається система, відмова якої відбувається тільки у разі відмови усіх її елементів (див. п. 2, рис. 2.2). Такі схеми надійності характерні для ТС, в яких елементи дублюються або резервуються, тобто паралельне з'єднання використовується як метод підвищення надійності (див. п. 4.2). Однак такі системи зустрічаються і самостійно (наприклад, системи двигунів чотиримоторного літака або паралельне увімкнення діодів у потужних випрямлячах).

Для відмови системи з паралельним з'єднанням елементів протягом напрацювання t необхідно і достатньо, щоб всі її елементи відмовили протягом цього напрацювання. Отже відмова системи полягає в спільній відмові всіх елементів, імовірність чого (при допущенні незалежності відмов) може бути знайдена по теоремі множення ймовірностей як добуток ймовірностей відмови елементів:

(3.7)

Відповідно, ймовірність безвідмовної роботи

(3.8)

Для систем з равнонадійних елементів ( )

(3.9)

тобто надійність системи з паралельним з'єднанням підвищується при збільшенні кількості елементів (наприклад, при і , а при - ).

Оскільки , добуток у правій частині (3.7) завжди менший будь-якого з співмножників, тобто ймовірність відмови системи не може бути вищою ймовірності самого надійного її елементу ("краще кращого") і навіть з порівняно ненадійних елементів можлива побудова цілком надійної системи.

При експоненційному розподілі напрацювання (1.7) вираз (3.9) прийме вигляд

(3.10)

звідки за допомогою (1.1) після інтегрування і перетворень середнє напрацювання системи визначається

(3.11)

де - середнє напрацювання елемента. При великих значеннях n справедлива наближена формула

(3.12)

Таким чином, середнє напрацювання системи з паралельним з'єднанням більше середнього напрацювання її елементів (наприклад, при , при ).

3.3. Системи типу "m з n"

Систему типу "m з n" можна розглядати як варіант системи з паралельним з'єднанням елементів, відмова якої відбудеться, якщо з n елементів, з'єднаних паралельно, працездатними виявляться менше, ніж m елементів (m <n).

Рис. 3.1. Система "2 з 5"

На рис. 3.1 представлена система "2 з 5", яка працездатна, якщо з п'яти її елементів працюють будь-які два, три, чотири або всі п'ять (на схемі пунктиром обведені функціонально необхідні два елементи, причому виділення елементів 1 і 2 виконано умовно, насправді всі п'ять елементів однозначні). Системи типу "m з n" найбільш часто зустрічаються в електричних і зв'язкових системах (при цьому елементами виступають зв'язкові канали), технологічних лініях, а також при структурному резервуванні (див. п. 4.1, 4.2).

Для розрахунку надійності систем типу "m з n" при порівняно невеликій кількості елементів можна скористатися методом прямого перебору. Він полягає у визначенні працездатності кожного з можливих станів системи, які визначаються різними сполученнями працездатних і непрацездатних станів елементів.

Всі стани системи "2 з 5" занесені в табл. 3.1. (В таблиці працездатні стани елементів і системи відмічені знаком "+", непрацездатні - знаком "-"). Для даної системи працездатність визначається лише кількістю працездатних елементів. За теоремою множення ймовірностей, ймовірність будь-якого стану визначається як добуток ймовірностей станів, у яких знаходяться елементи. Наприклад, у рядку 9 описано стан системи, в якій відмовили елементи 2 і 5, а інші працездатні. При цьому умова "2 з 5" виконується, так що система в цілому працездатна. Ймовірність такого стану

.

(Передбачається, що всі елементи рівнонадійні). З урахуванням усіх можливих станів ймовірність безвідмовної роботи системи може бути знайдена по теоремі складання ймовірностей усіх працездатних поєднань. Оскільки в табл. 3.1 кількостей непрацездатних станів менше, ніж працездатних (відповідно 6 і 26), простіше обчислити вірогідність відмови системи. Для цього підсумовуються ймовірності непрацездатних станів (де не виконується умова "2 з 5").

(3.13)

Тогда ймовірність безвідмовної роботи системи

(3.14)

Розрахунок надійності системи "m з n" може відбуватися комбінаторним методом, в основі якого лежить формула біноміального розподілу. Біноміальному розподілу підпорядковується дискретна випадкова величина k - кількість появ деякої події в серії з n дослідів, якщо в окремому досліді ймовірність появи події складає p. При цьому ймовірність появи події рівно k разів визначається

(3.15)

де - біноміальний коефіцієнт, що називається "кількість сполучень по k з n" (тобто скількома різними способами можна реалізувати ситуацію "k з n"):

(3.16)

Значення біноміальних коефіцієнтів приведені в додатку. Оскільки для відмови системи "m з n" достатньо, щоб кількість справних елементів була менша m, ймовірність відмови може бути знайдена по теоремі складання ймовірностей для k = 0, 1, ... (m-1):

(3.17)

Аналогічним чином можна знайти ймовірність безвідмовної роботи як суму (3.15) для k=m, m+1, ... , n:

(3.18)

Таблиця 3.1

Таблиця станів системи “2з 5”

	Стан елементів					Стан	Ймовірність
стану	1	2	3	4	5	системи	стану системи
1	+	+	+	+	+	+
2	+	+	+	+	-	+
3	+	+	+	-	+	+
4	+	+	-	+	+	+
5	+	-	+	+	+	+
6	-	+	+	+	+	+
7	+	+	+	-	-	+
8	+	+	-	+	-	+
9	+	-	+	+	-	+
10	-	+	+	+	-	+
11	+	+	-	-	+	+
12	+	-	+	-	+	+
13	-	+	+	-	+	+
14	+	-	-	+	+	+
15	-	+	-	+	+	+
16	-	-	+	+	+	+
17	+	+	-	-	-	+
18	+	-	+	-	-	+
19	-	+	+	-	-	+
20	+	-	-	-	+	+
21	-	+	-	-	+	+
22	-	-	-	+	+	+
23	+	-	-	+	-	+
24	-	+	-	+	-	+
25	-	-	+	-	+	+
26	-	-	+	+	-	+
27	+	-	-	-	-	-
28	-	+	-	-	-	-
29	-	-	+	-	-	-
30	-	-	-	+	-	-
31	-	-	-	-	+	-
32	-	-	-	-	-	-

Очевидно, що Q + P = 1, тому в розрахунках слід вибирати ту з формул (3.17), (3.18), яка в даному конкретному випадку містить меншу кількість доданків. Для системи "2 з 5" (рис. 3.1) за формулою (3.18) отримаємо:

(3.19)

Імовірність відмови тієї ж системи по (3.17):

(3.20)

що, як видно, дає той же результат для ймовірності безвідмовної роботи.

У табл. 3.2 наведені формули для розрахунку ймовірності безвідмовної роботи систем типу "m з n" при m <= n <= 5. Очевидно, при m = 1 система перетворюється на звичайну систему з паралельним з'єднанням елементів, а при m = n - з послідовним з'єднанням.

Таблиця 3.2

	Загальна кількість елементів , n
m	1	2	3	4	5
1
2	-
3	-	-
4	-	-	-
5	-	-	-	-