3.4. Місткові схеми

Місткова структура (рис. 3.2, а, б) не зводиться до паралельного або послідовного типу з'єднання елементів, а являє собою паралельне з'єднання послідовних ланцюжків елементів з діагональними елементами, включеними між вузлами різних паралельних гілок (елемент 3 на рис. 3.2, а , елементи 3 і 6 на рис. 3.2, б). Працездатність такої системи визначається не тільки кількістю відмовивших елементів, але і їх становищем у структурній схемі. Наприклад, працездатність ТС, схема якої наведена на рис. 3.2, а, буде втрачена при одночасній відмові елементів 1 і 2, або 4 та 5, або 2, 3 і 4 і т.д.. У той же час відмова елементів 1 і 5, або 2 і 4, або 1, 3 і 4, або 2, 3 і 5 до відмови системи не приводить.

Рис. 3.2. Місткові системи

Таблиця 3.3

Таблиця станів місткової системи

	Стан елементів					Стан	Ймовірність стану
стану	1	2	3	4	5	системи	в загальному випадку	при рівнонадійних елементах
1	+	+	+	+	+	+
2	+	+	+	+	-	+
3	+	+	+	-	+	+
4	+	+	-	+	+	+
5	+	-	+	+	+	+
6	-	+	+	+	+	+
7	+	+	+	-	-	-
8	+	+	-	+	-	+
9	+	-	+	+	-	+
10	-	+	+	+	-	+
11	+	+	-	-	+	+
12	+	-	+	-	+	+
13	-	+	+	-	+	+
14	+	-	-	+	+	+
15	-	+	-	+	+	+
16	-	-	+	+	+	-
17	+	+	-	-	-	-
18	+	-	+	-	-	-
19	-	+	+	-	-	-
20	+	-	-	-	+	-
21	-	+	-	-	+	+
22	-	-	-	+	+	-
23	+	-	-	+	-	+
24	-	+	-	+	-	-
25	-	-	+	-	+	-
26	-	-	+	+	-	-
27	+	-	-	-	-	-
28	-	+	-	-	-	-
29	-	-	+	-	-	-
30	-	-	-	+	-	-
31	-	-	-	-	+	-
32	-	-	-	-	-	-

Для розрахунку надійності місткової системи можна скористатися методом прямого перебору, як це було зроблено для систем "m з n" (п. 3.3), але при аналізі працездатності кожного стану системи необхідно враховувати не тільки кількість елементів, що відмовили, але і їх положення в схемі ( табл. 3.3). Імовірність безвідмовної роботи системи визначається як сума вірогідності всіх працездатних станів:

(3.21)

У випадку рівнонадійних елементів

(3.22)

Метод прямого перебору ефективний тільки при малій кількості елементів n, про що говорилося на початку розд. 3, оскільки кількість станів системи складає . Наприклад, для схеми на рис. 3.2, б їх кількість становитиме вже 256. Деяке спрощення досягається, якщо в таблицю станів включати тільки поєднання, що відповідають працездатному (або тільки непрацездатному) стану системи в цілому.

Для аналізу надійності ТС, структурні схеми яких не зводяться до параллельного або послідовного типу, можна скористатися також методом логічних схем з застосуванням алгебри логіки (булевої алгебри). Застосування цього методу зводиться до складання для ТС формули алгебри логіки, яка визначить умову працездатності системи. При цьому для кожного елемента і системи в цілому розглядаються дві протилежні події - відмова і збереження працездатності.

Для складання логічної схеми можна скористатися двома методами - мінімальних шляхів і мінімальних перерізів.

Розглянемо метод мінімальних шляхів для розрахунку ймовірності безвідмовної роботи на прикладі місткової схеми (рис. 3.2, а).

Мінімальним шляхом називається послідовний набір працездатних елементів системи, що забезпечує її працездатність, а відмова будь-якого з них призводить до її відмови.

Мінімальних шляхів у системі може бути один або декілька. Очевидно, система з послідовним з'єднанням елементів (рис. 2.1) має тільки один мінімальний шлях, який включає всі елементи. У системі з паралельним з'єднанням (рис. 2.2) кількість мінімальних шляхів збігається з кількістю елементів і кожен шлях включає один з них.

Для місткової системи з п'яти елементів (рис. 3.2, а) мінімальних шляхів чотири: (елементи 1 і 4), (2 і 5), (1, 3 і 5), (2, 3 і 5). Логічна схема такої системи (рис. 3.3) складається таким чином, щоб всі елементи кожного мінімального шляху були сполучені один з одним послідовно, а всі мінімальні шляхи паралельно.

Рис. 3.3. Логічна схема місткової системи за методом мінімальних шляхів

Рис. 3.4. Логічна схема місткової системи за методом мінімальних січень

Потім для логічної схеми складається функція алгебри логіки А за загальними правилами розрахунку імовірності безвідмовної роботи, але замість символів ймовірностей безвідмовної роботи елементів і системи Р використовуються символи події (збереження працездатності елемента a_i і системи А). Так, "відмова" логічної схеми рис. 3.3 полягає в одночасній відмові всіх чотирьох паралельних гілок, а "безвідмовна робота" кожної гілки - в одночасній безвідмовної роботі її елементів. Послідовне з'єднання елементів логічної схеми відповідає логічному множенню (" І "), паралельне - логічному додаванню ("АБО"). Отже, схема рис. 3.3 відповідає твердженням: система працездатна, якщо працездатні елементи 1 і 4, або 2 та 5, або 1,3 та 5, або 2,3 і 4. Функція алгебри логіки запишеться:

(3.23)

У виразі (3.23) змінні а розглядаються як булеві, тобто можуть прийматися тільки два значення: 0 або 1. Тоді при зведенні в будь-який ступінь k будь-яка змінна a зберігає своє значення: . На основі цієї властивості функція алгебри логіки (3.23) може бути перетворена до виду

(3.24)

Замінивши у виразі (3.24) символи подій їх ймовірностями , отримаємо рівняння для визначення ймовірності безвідмовної роботи системи

(3.25)

Для системи равнонадійних елементів ( ) вираз (3.25) легко перетворюється у формулу (3.22).

Метод мінімальних шляхів дає точне значення тільки для порівняно простих систем з невеликою кількістю елементів. Для більш складних систем результат розрахунку є нижньою межею ймовірності безвідмовної роботи.

Для розрахунку верхньої межі ймовірності безвідмовної роботи системи слу-жить метод мінімальних перерізів.

Мінімальним перерізом називається набір непрацездатних елементів, відмова яких призводить до відмови системи, а відновлення працездатності любого з них - до відновлення працездатності системи. Як і мінімальних шляхів, мінімальних перерізів може бути кілька. Очевидно, система з паралельним з'єднанням елементів має тільки один мінімальний переріз, що включає всі її елементи (відновлення будь-якого відновить працездатність системи). В системі з послідовним з'єднанням елементів кількість мінімальних шляхів збігається з кількістю елементів, і кожен перетин включає один з них.

У містковій системі (рис. 3.2, а) мінімальних перерізів чотири (елементи 1 і 2), (4 і 5), (1, 3 і 5), (2, 3 і 4). Логічна схема системи (рис.3.4) складається таким чином, щоб всі елементи кожного мінімального перерізу були з'єднані один з одним паралельно, а всі мінімальні перерізи - послідовно. Аналогічно методом мінімальних шляхів, складається функція алгебри логіки. "Безвідмовна робота" логічної системи рис. 3.4 полягає в "безвідмовній роботі" всіх послідовних ділянок, а "відмова" кожного з них - в одночасній "відмові" всіх паралельно включених елементів. Як видно, оскільки схема методу мімінімальних перерізів формулює умови відмови системи, в ній послідовне з'єднання відповідає логічному "АБО", а паралельне - логічному "І". Схема рис. 3.4 відповідає формулюванню: система відмовить, якщо відмовлять еле-ти 1 і 2, або 4 та 5, або 1, 3 і 5, або 2, 3 і 4. Функція алгебри логіки запишеться

(3.26)

Після перетворень з використанням властивостей булевих змінних (3.26) набуває форму (3.24), після заміни подій їх ймовірностями переходить у вираз (3.25).

Таким чином, для місткової системи з п'яти елементів верхня і нижня межі ймовірності безвідмовної роботи, отримані методами мінімальних січень і мінімальних шляхів, збіглися з точними значеннями (3.22), отриманими методом прямого перебору. Для складних систем такого може не виникнути, тому методи мінімальних шляхів і мінімальних перерізів необхідно застосовувати спільно.

У ряді випадків аналізу надійності ТС вдається скористатися методом розкладання щодо особливого елементу, заснованим на відомій в математичній логіці теоремі про розкладанні функції логіки з будь-якого аргументу. Згідно до неї, можна записати:

(3.27)

де і - ймовірності безвідмовної роботи та відмови i - го елемента, і -ймовірності працездатного стану системи за умови, що i - й елемент абсолютно надійний і що i - й елемент відмовив.

Для місткової схеми (рис. 3.2, а) в якості особливого елемента доцільно вибрати діагональний елемент 3. При місткова схема перетворюється в паралельно - послідовне з'єднання (рис. 3.5, а), а при - у послідовно - паралельне (рис. 3.5, б).

Рис. 3.5. Перетворення місткової схеми при абсолютно надійному (а) і відмовившому (б) центральному елементі

Для перетворених схем можна записати:

(3.28)

(3.29)

Тоді на підставі формули (3.27) отримаємо:

(3.30)

Легко переконатися, що для рівнонадійних елементів формула (3.30) перетвориться на (3.22).

Цим методом можна скористатися і при розкладанні щодо кількох "особливих" елементів. Наприклад, для двох елементів (i, j) вираз (3.27) прийме вигляд:

(3.31)

Ймовірність безвідмовної роботи місткової схеми (рис. 3.2, б) при розкладанні щодо діагональних елементів 3 та 6 по (3.31) визначиться:

(3.32)

Ймовірність легко ставити, виконавши попередньо перетворені схеми, подібно рис. 3.5, а, б.