Раздел 2 Интегральное исчисление Понятие неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (а; b), если для любого

х € (а; b) выполняется равенство

F’(x) = f(x) (или dF(x) = f(x) dx).

Множество всех первообразных функций F(x) + С для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом f(x)dx.

Здесь f(x) называется подынте­гральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, – знаком неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функция равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

dF{x)= F(x) + С.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, а ≠ 0 – постоянная.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного чи­сла непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

.

5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если f{x)dx = F(x) + С, то и f(u)du = F(u) + С, где и — φ(x) — произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Таблица основных неопределенных интегралов

Интеграл		Значение
1
2
3
4		ex + C
5		-cosx + C
6		sinx + C
7		-lncosx+C
8		lnsinx+ C
9		tgx + C
10		-ctgx + C
11		arcsin + C
12
13

Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Пример. .

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный инте­грал приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Пусть требуется вычислить интеграл f(x) dx. Сделаем подстановку x = (t), где (t) – функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда dx = '(t)dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой

Эта формула также называется формулой замены переменных в неопре­деленном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t = (х), тогда = f(t)dt, где t =(х). Другими словами, форму­лу можно применять справа налево.

Пример. Найти

Замена Получаем:

.