Метод интегрирования по частям
Пусть u = u(x), v = v(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv) = udv + vdu.
Интегрируя это равенство, получим
|
или
.
Порученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла udv к вычислению интеграла vdu, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.
Определенный интеграл
Определение.
Если при любых разбиениях отрезка [a,
b]
таких, что maxxi
0 и произвольном
выборе точек i
интегральная сумма
стремится к пределу S,
который называется определенным
интегралом от f(x)
на отрезке [a,
b].
Обозначение:
,
а
– нижний предел, b
– верхний предел, х
– переменная интегрирования, [a,
b]
– отрезок интегрирования.
Определение. Если для функции f(x) существует предел
то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].
Также верны утверждения:
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла.
Если f(x) (x) на отрезке [a, b] a < b, то
Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:
6) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
7)
Вычисление определенного интеграла
Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.
Обозначим
= Ф(х). Найдем производную функции Ф(х)
по переменному верхнему пределу х.
Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.
Теорема. Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.
Теорема Ньютона – Лейбница. Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то
Это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.
Иногда применяют обозначение
F(b)
– F(a)
= F(x)
.
Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.
Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур
у
0 a - b x
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.
Для нахождения суммарной площади используется формула
.
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.
Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:
(ед2)