14.2.Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости

Определение 14.2.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x₀, если существует число A и α(х) - бесконечно малая в точке x₀, α(х): (a,b)→ R, что

Для любого х из (a,b) f(x) = f(x₀)+A(x- x₀)+ α(х) (x- x₀).

Иначе говоря, f(x) - f(x₀)=(x- x₀)(А+ α(х)), х →x₀, то есть приращение функции почти пропорционально приращению аргумента.

Теорема 14.2. Критерий дифференцируемости (без доказательства)

Функция f действует из (a,b) в R, x₀ – точка из (a,b)

Тогда равносильно:

1. Существует конечная производная f ´(x₀)

2. Функция f дифференцируема в точке x₀

3. Существует функция F, действующая из (a,b) в R такая, что:

F – непрерывна в точке x₀, f(x) - f(x₀)=F(x₀ )(x- x₀), то есть результат деления бесконечно малой f(x) - f(x₀) на бесконечно малую (x- x₀) дает в результате непрерывную в точке x₀ функцию

14.3.Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Связь дифференциала функции с производной

Определение 14.3

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х_о. Тогда если существует такое число А, что приращение Δу этой функции в точке х_о, соответствующее приращению Δх аргумента, представимо в виде:

Δу = А • Δх + α(Δх) • Δх, где lim α(Δх) = 0 (определение дифференцируемой функции, см. 14.2)

А • Δх – главная линейная часть приращения Δу называется дифференциалом функции y=f(x) в точке х_о и обозначается dy или df(х_о)

Положив в формуле приращения y=x, получим , что дифференциал независимой переменной dx= Δх.

Согласно критерию дифференцируемости функция f(x) дифференцируема в точке х_отогда и только тогда, когда в этой точке существует конечная производная причем поэтому

Или, если существует на данном интервале (a,b), то

Отсюда т.е. производная функции у = f(x) в точке х равна отношению дифференциала этой функции в данной точке к дифференциалу независимой переменной.

Рис. 14.3

Геометрически ( см. рис.14.3) приращение Δу функции f(x) в точке х — есть приращение ординаты точки на кривой (Δу = АС), а дифференциал dy функции в этой точке — приращение ординаты соответствующей точки на касательной (dy = АВ).

Свойства дифференциала.

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C - постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x), d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x).

Если при этом g(x) 0, то

4. Инвариантности дифференциала.

Пусть y = f(x) ‑ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df(x) = f (x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y = F(t) = f(x(t)) -сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy = F(t)dt = f (x)x (t)dt. Однако по определению дифференциала x (t)dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f (x)dx.

Иными словами, если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство x = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.

Примеры 14.3.

1. Найти дифференциал функции

2. Найти приращение и дифференциал функции в точке х₀ =2 при Δх = 0,1

Линейная часть этого приращения в точке х₀ равна

Тогда дифференциалом будет dy = (2x – 3)Δ x = (2x-3)dx

Можно его найти и непосредственно через формулу дифференциала

dy = f ’(x)dx, f ‘(x) = 2x-3

Приращение же при указанных условиях равно

14.4.Свойства производных (без доказательства)

1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

2. Если существует f (x) , и С ‑ произвольное число, то функция имеет производную: (Cf(x)) = Cf (x).

3. Если существуют f (x) и g (x), то функция S(x) = f(x) + g(x) имеет производную: S (x) = f (x) + g (x).

4. Если существуют f (x) и g (x), то функция P(x) = f(x)g(x) имеет производную: P (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x).

5. Если существуют f (x) и g (x) и при этом g(x)  0, то функция D(x) = f(x) / g(x) имеет производную: D (x) = (f (x) g(x)  f(x) g (x)) / g²(x).

6. Производная сложной функции

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F (x) = f (z) g (x).

Примеры 14.4.

Рассмотрим первый пример: функций f здесь является квадратичная функция, а функцией g sin x. Во втором примере функцией f является функция sin x, а в роли g выступает квадратичная функция