14.9.Правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей

Теорема 14.9(1)

Если функции f и g определены в окрестности точки х₀ , f(х₀) = g(х₀ ) = 0, существуют конечные производные g ' (х₀)≠0 и f ' (х₀), то существует конечный предел

Доказательство

Геометрический смысл равенства состоит в том, что предел отношения ординат графиков функций f и g равен пределу отношения ординат их касательных у = f '(x_o)(x - -х_о) и

у = g'(х_о)(х - х_о) которое постоянно и равно (см.рис. )

Примеры 14.9(1)

1.

2. Сведем неопределенность вида (∞-∞) к , правило Лопиталя применим дважды

Теорема 14.9(2) (без доказательства)

1) функции f и g дифференцируемы на интервале (а, b);

2)

3)

4) существует конечный или бесконечный предел

Тогда существует

и

Примеры 14.9 (2)

1.

2.