14.7.Выпуклость и вогнутость функции

Пусть функция f задана на интервале (a,b) и a< x₁ <x₂< b. Проведем прямую через точки

А(x₁, f(x₁)) и B(x₂, f(x₂)) , лежащие на графике функции f. Уравнение этой прямой можно записать в виде

обозначим правую часть g(x)

Рис.14.8(1) Рис.14.8(2)

Определение

Функция f называется выпуклой вверх на интервале (a,b), если каковы бы ни были точки x₁ и x₂, a< x₁ <x₂< b для любой точки х интервала выполняется g(x)≤ f(x) (см.рис.14.8(1))

Если же для любой такой точки x g(x)≥ f(x) на интервале (a,b) функция называется выпуклой вниз

Это означает, что точка хорды АВ (т. е. отрезка прямой g(x)) с концами в точках А и В), например, в случае выпуклости вниз расположена не ниже точки графика функции f, соответствующей тому же значению аргумента .

Теорема 14.7 (достаточные условия строгой выпуклости).

Если вторая производная функции отрицательна (положительна) во всех точках интервала, то функция строго выпукла вверх (соответственно строго выпукла вниз) на этом интервале.

Для доказательства достаточно вспомнить геометрический смысл производной и ее связь с возрастанием и убыванием функции, а также то, что вторая производная есть прои3водная от первой производной.

14.8. Применение производных к исследованию функций

Определения 14.8 Асимптоты.

Если функция f задана для всех х > а (соответственно для всех x < а) и существует такая прямая y = kx + l,что

(соответственно при ) то эта прямая называется асимптотой функции f при

Конечно, далеко не всякая функция имеет асимптоты. Существование асимптоты функции означает, что при функция ведет себя "почти как линейная функция", т. е. отличается от линейной функции на бесконечно малую.

Асимптоты бывают вертикальные (рис.14.8а), наклонные (рис.14.8б) и горизонтальные (рис.14.8в)

Рис 14.8

Иначе (см. рис. 14.8) можно сказать, что прямая линия m называется асимптотой графика функции у = f(х), если расстояние d от точки М, лежащей на этом графике, до прямой m стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат в бесконечность

Укажем методы отыскания асимптот. Будем рассматривать лишь случай х → +∞; для х → — ∞ вывод уравнения асимптоты производится аналогичным способом.

После того, как k найдено, можно найти

Если для функции f выполнено хоть одно из условий

, то прямая х = х₀ называется вертикальной асимптотой

Чтобы найти вертикальные асимптоты функции f, надо найти такие значения х_о, для которых выполняются одно или оба условия

Пример 14.8(1)

Найти асимптоты для

Соответственно, асимптотой является прямая y = x+2

Вертикальной асимптотой для этой функции является прямая х = 1, поскольку

Общее изучение заданной функции целесообразно проводить в следующем порядке:

1. Определить область существования функции, область непрерывности и точки разрыва.

2. Найти асимптоты.

3. Приблизительно, вчерне, нарисовать график функции.

4. Вычислить первую, а если нужно, и вторую производные (без производных более высокого порядка обычно удается обойтись). Найти точки, в которых первая и вторая производные либо не существуют, либо равны нулю. Составить таблицу изменения знака первой и второй производных.

5. Определить интервалы возрастания, убывания, выпуклости вверх и вниз функции, найти точки экстремума (в том числе и концевые) и точки перегиба.

6. Окончательно вычертить график (возможно, предварительно, вычислив координаты нескольких вспомогательных точек).

Замечание 14.8

В результате, действуя подобным образом, мы, как правило, сумеем провести лишь качественное исследование заданной функции, так как, например, для нахождения точек экстремума надо решить уравнение f'(x) = 0, а может оказаться, что точные значения корней этого уравнения мы не сумеем найти, а сумеем лишь с большей или меньшей точностью найти интервалы, где они находятся. В этом случае методы математического анализа позволяют, вообще говоря, осуществлять лишь качественное изучение поведения

функции, а их количественное изучение осуществляется с помощью численных методов, возможности которых существенно расширяет использование современных вычислительных машин.

Пример 14.8(2)

Провести исследование и построить график функции

Функция f определена и непрерывна на всей числовой оси, поэтому у нее нет вертикальных асимптот. Поскольку

то у нее нет и наклонных асимптот.

Функция f неотрицательна при положительных значениях аргумента х и отрицательна при его отрицательных значениях; f(0)=f(1) = 0

Очевидно, что так и при

Соответственно, можно построить эскиз графика (см. рис. 14.8(1))

Рис.14.8(1)

Вычислим первую и вторую производные

Поскольку f'(3/5) = 0 и производная в точке x = 3/5 меняет знак с плюса на минус (отметим, что в достаточно малой окрестности точки x = 3/5 знаменатель у выражения

для f'(x) отрицателен), то эта точка является точкой максимума.

В точке x = 1 существует бесконечная производная, поэтому график функции имеет в точке (1,0) вертикальную касательную.

Наконец, f"(6/5) = 0, и в точке х = 6/5 вторая производная меняет знак.

Это означает, что точка х = 6/5 является точкой перегиба. Принимая во внимание

все дополнительные исследования, уточним вид графика функции.

Уточненный вид графика этой функции см. на рис. 14.8(2)

Рис. 14.8(2)