2. Понятие эластичности функции и его экономические приложения

Оценить изменение функции можно, сравнивая темпы роста фактора и зависимой переменной, для этого используют связь относительных или процентных изменений переменных.

Эластичностью функции y=f(x), не равной нулю и дифференцируемой в точке x0, называется предел отношения относительных изменений переменных

Эластичность функции y=f(x) вычисляется по формуле: Эту эластичность называют также предельной или точечной эластичностью.

Эластичность функции показывает, на сколько примерно процентов изменится значение функции, если значение аргумента изменится на 1%.

Составим таблицу эластичностей для некоторых функций:

y=f(x)	ex(y)	y=f(x)	ex(y)
a	0	a/x	–1
x	1	a x	x lna
ax+b	ax/ax+b	e bx	bx
x b	b	lnx	1/lnx

Свойства эластичности.

1) Эластичность – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измеряются переменные.

2) Если эластичности сомножителей существуют, эластичность произведения также существует и равна сумме эластичностей сомножителей: e_x(fg)= e_x(f)+e_x(g).

3) Если эластичности делимого и делителя существуют, эластичность частного также существует и равна разности эластичностей делимого и делителя: e_x(f/g)= e_x(f)–e_x(g).

4) Эластичности взаимно обратных функций – взаимно обратные величины

5) Эластичность можно представить в форме «логарифмической производной»

Ценовая эластичность спроса

Применим введенное понятие эластичности функции к функции спроса:

Эластичность функции спроса

называется ценовой эластичностью спроса при цене р.

Поскольку, как правило, предполагается, что функция спроса является убывающей, то e_p(x)  0. Поэтому в экономической литературе часто рассматривают эластичность, взятую по модулю, т.е. со знаком плюс. Обозначим .

Экономический смысл: ценовая эластичность спроса показывает, на сколько примерно процентов уменьшится (увеличится) объем спроса, если цена товара увеличится (уменьшится) на 1%.

Будем говорить, что при цене p спрос эластичен, если e_p(x) < –1 (эластичность по модулю больше 1, e>1), т.е. спрос падает быстрее, чем растет цена. При этом выручка продавца падает. Спрос неэластичен при цене p, если –1 < e_p(x) < 0 (эластичность по модулю меньше 1, e<1), в этом случае спрос падает медленнее, чем растет цена, и выручка продавца увеличивается. Если при некоторой цене e_p(x) = –1 (e=1), то спрос называется нейтральным, при этом выручка продавца достигает максимальной величины (см. п. 3 в главе 3). Спрос называют совершенно эластичным при бесконечно большой величине эластичности спроса e   и совершенно неэластичным при нулевой e_p(x)  0.

Если ценовая эластичность монотонна, то достаточно найти точку единичной эластичности, которая разобьет диапазон изменения цен на две области: неэластичного спроса и эластичного спроса.

Пример. Определите ценовую эластичность спроса на сахар из предыдущего примера х = 200 - 2p .

► Производная данной функции спроса - величина постоянная.

Но эластичность, как мы видим, не является постоянной величиной, а меняется в зависимости от цены товара.

Из уравнения e_p(x) = –1 найдем цену, при которой спрос нейтральный.

По цене 50 будет продано х = 200 – 2*50 = 100 кг сахара. Продавец получит в этом случае максимальный доход (выручку) 100*50=5000 рублей. В диапазоне цен от 0 до 50 спрос является неэластичным, возьмем например цену p = 20:

Это означает, что если при этой цене продавец понизит её на 1%, то спрос увеличится всего на 0.25%, что приведет к уменьшению выручки, а это невыгодно продавцу. Наоборот, продавцу выгодно при неэластичном спросе увеличивать цену. Аналогично можно установить, что спрос является эластичным при ценах от 50 до 100. ◄