9. Поиск оптимального сочетания ресурсов. Построение функции издержек.

В процессе кратковременного планирования производства затраты некоторых ресурсов (переменных) могут изменяться, а остальных (постоянных) не могут. Обозначим через x=(x₁, x₂, ..., x_n) план по затратам переменных ресурсов, Предположим, что цены ресурсов не зависят от объема закупок. Пусть вектор w=(w₁, w₂, ..., w_n) задает цены переменных ресурсов.

При реализации плана производства (по ресурсам) стоимость затраченных постоянных ресурсов С₀, переменных ресурсов , и общая стоимость затраченных ресурсов называются, соответственно, постоянными, переменными и общими издержками.

Одно и то же количество продукции можно произвести с помощью различных планов по затратам ресурсов, лежащих на одной изокванте. Перед производителем возникает задачи поиска такого плана по ресурсам, который обеспечит выпуск заданного количества продукции q с наименьшими переменными издержками:

(1)

Задача (1) является задачей математического программирования (на условный экстремум). Если найти план с наименьшими переменными издержками, то он же будет планом с наименьшими общими издержками, т.к. общие издержки отличаются от переменных на постоянную С_0.

Предположим, что задача (1) имеет единственное решение: x*=(x₁*, x₂*, ..., x_n*). Это план производства по ресурсам, обеспечивающий выпуск q единиц продукции с минимальными издержками, называется оптимальным планом по ресурсам или точкой равновесия производителя. Вектор x*, вообще говоря, зависит от w и q:

Функция называется (условной) функцией спроса на ресурсы.

План x* обойдется производителю в денежных единиц.

Функция, сопоставляющая объему выпуска продукции q и ценам ресурсов w стоимость плана, обеспечивающего выпуск q единиц продукции с наименьшими переменными издержками, называется функцией переменных издержек и обозначается С_v(w, q):

,

а функцией общих издержек называется

Условимся считать, что цены ресурсов в рассматриваемом временном горизонте неизменны и ценовая дискриминация на рынке ресурсов отсутствует. При этом изменение затрат ресурсов и соответствующих издержек будет связано только с изменением объема выпуска, поэтому опустим w в списке аргументов функций x* и С_v.

Геометрический подход к поиску оптимального плана возможен в случае ПФ двух переменных. Стоимость ресурсов G(x) – функция двух переменных - изображается графически в виде семейства линий уровня - изокост.

Множество планов производства с одинаковыми переменными издержками называется изокостой. Уравнение изокосты имеет вид: .

Поскольку изокоста задается линейным уравнением, то ее можно начертить по точкам пересечения с осями Оx₁ и Ox₂ .

Семейство изокост на плоскости – множество отрезков параллельных прямых с нормальным вектором . Угол наклона изокосты к оси Оx₁: tg=– w₁/ w₂.

Если оптимальная комбинация ресурсов (оптимальный план по ресурсам, точка равновесия производителя) x* - точка касания самой низкой изокосты с изоквантой, причем задействованы все ресурсы (x₁*>0, x₂*>0), то такое решение задачи называется касательным (рис. 7). Учитывая, что наклон изокосты определяется отношением цен на ресурсы, а наклон касательной к изокванте это MRTS₁₂(x^*), то в точке равновесия эти величины совпадут.

Теорема. Необходимое условие касательного решения.

Если x*=(x₁*, x₂*) – касательная точка равновесия, т.е. план производства по ресурсам, обеспечивающий выпуск q единиц продукции с минимальными издержками, ПФ дифференцируема в этой точке, то

Производитель заменяет один ресурс другим, пока это выгодно. . Переписав пропорцию: , получим правило равной производительности ресурсов на единицу затрат. Это правило можно распространить на любое число ресурсов (факторов). Отдачи ресурсов в расчете на единицу затрат равны для всех используемых ресурсов. Рубль затрат в любой ресурс приносит одинаковый эффект. В рыночной экономике происходит согласование способа производства с соотношением цен на факторы, Другими словами, производительность факторов (отдача ресурсов) должна соответствовать их стоимости, в результате ограниченные ресурсы используются самым эффективным способом.

Но, если для всех точек на изокванте (всех допустимых планов) MRTS₁₂ не совпадает с отношением цен, а точка равновесия лежит на одной из осей (одна из координат точки равна 0), то решение задачи называют угловым.

Необходимое условие угловой точки равновесия:

Если оптимальный план x*=(0, x₂*), то , (невыгодно использовать даже первую единицу первого ресурса).

Если оптимальный план x*=(x₁*, 0), то , (невыгодно использовать даже первую единицу второго ресурса).

Необходимые условия позволяют аналитически найти критические точки, которые затем проверяются на оптимальность. Если задачу (1) решать для произвольного объёма выпуска, считая q параметром, то как раз получим функцию спроса на ресурсы и функцию переменных издержек С_v( q).

Пример. Найдем функцию переменных издержек для линейной ПФ:

► Геометрически (рис.8) найдем точку равновесия, для этого в одной системе координат построим изокванту и семейство изокост, используя угол наклона изокванты tg=–a₁/a₂ и изокосты tg = – w₁/w₂. Для определенности предположим, что w₁/w₂ > a₁/a₂.

Рис. 8. Поиск оптимального плана для линейной ПФ.

Все планы, лежащие на изокванте, дают q единиц продукции. Поскольку нам нужно найти минимум функции G(x), то есть самый дешевый план, то двигая изокосту в направлении, противоположном вектору градиента w=(w₁, w₂) на пересечении изокосты и изокванты будем получать все более дешевые планы. Так, план В дешевле, чем план С, а план А дешевле, чем В. Из рисунка видно, что план А – самый дешевый, обеспечивающий выпуск q единиц продукции.

Получили угловую точку равновесия: argmin G(x) = x* = (0, q/a₂).

Стоимость ресурсов в оптимальном плане составит G_min=С_v(q)=w₂ q/a₂ ден. единиц.

В общем случае, для линейной ПФ двух переменных функция переменных издержек имеет вид С_v(q)=min{w₁/a₁, w₂/a₂} q. ◄

Геометрический подход к поиску точки равновесия для ПФ Кобба-Дугласа (см. рис. 7) может дать нам лишь приближенный результат. Чтобы найти точное решение и построить функцию издержек, рекомендуется пользоваться теоремой:

Теорема. Если ПФ является однородной степени m, то

функция спроса на ресурсы имеет вид , где – план выпуска, обеспечивающий выпуск единицы продукции с наименьшими переменными издержками (стоимость плана x¹ есть C_v(1)),

функция переменных издержек имеет вид

Если ПФ является однородной степени m, то, для получения функции переменных издержек, следует найти стоимость плана, дающего единицу продукции с наименьшими переменными издержками, а затем умножить ее на q^1/m [12].

Следствие. Если ПФ характеризуется постоянным эффектом масштаба (является однородной степени 1), то она порождает линейную функцию издержек

На практике часто возникает задача поиска такого сочетания ресурсов, которое давало бы максимальное количество продукции при наличии бюджетного ограничения:

при условии (2)

т.е. задача выпустить как можно больше продукции, затратив определенную сумму денег. Решается задача (2) аналогично (1), даже необходимые условия касательного и углового решений выглядят точно так же.