4. Основные типы производственных функций

Линейная ПФ применяется при моделировании систем, в которых выпуск однородной продукции является результатом одновременного функционирования нескольких технологий: производство однотипных деталей рабочими различных разрядов, выемка грунта рабочими или экскаваторами, выручка дистрибьюторов однородного товара, сегмент рынка, крупная отрасль, народное хозяйство в целом. Эта функция применяется при моделировании таких производственных процессов, где выпуск линейно зависит от затрат, ресурсы полностью взаимозаменяемы, то есть когда для выпуска достаточно наличия хотя бы одного ресурса.

В случае выпуска продукции с использованием двух ресурсов линейная ПФ имеет вид: где параметры a₁> 0, a₂ > 0.

В случае n переменных линейная ПФ имеет вид

ПФ типа Кобба-Дугласа.

В середине 1920-х годов американский экономист П. Дуглас (Douglas), анализируя данные об американской обрабатывающей промышленности, пришел к выводу, что для производства важны две вещи: труд и капитал, причем каждая из них влияет на объем производства нелинейно. Проведя с помощью математика Ч. Кобба регрессионный анализ большого объема данных, Дуглас получил (Paul H. Douglas. The Theory of Wages. - NY, 1934) следующую формулу:

где Q – объем производства, a₀ > 0, K – капитал, L – рабочая сила, 0 < a < 1, 0 < b < 1

В общем случае ПФ Кобба-Дугласа , 0< a_i <1 , i=1,2

Отметим два простых свойства ПФ Кобба-Дугласа:

1) экономический смысл коэффициента a₀ – он равен объему выпуска продукции при единичных затратах ресурсов.

2) Отсутствие одного ресурса приводит к нулевому выпуску.

ПФ Леонтьева предназначена для моделирования строго детерминированных технологий, не допускающих отклонения от технологических норм использования ресурсов. Обычно используется для описания мелкомасштабных или полностью автоматизированных производственных объектов.

Пусть по технологии для получения единицы готовой продукции нужно затратить первого ресурса a₁ед., второго ресурса a₂ед. именно в заданной пропорции . Если имеются два ресурса в количествах x₁и x₂единиц, то готовой продукции будет выпущено в количестве

ПФ вида ,

где a_i > 0, i=1, 2, ..., n, называется ПФ Леонтьева или ПФ “затраты-выпуск”.

Экономический смысл коэффициентов ПФ Леонтьева заключается в том, что – самый дешевый план, обеспечивающий выпуск единицы продукции. Ресурсы в ПФ Леонтьева являются полностью дополняемыми.

Свойства основных ПФ содержатся в следующей таблице:

Основные типы производственных функций и их свойства

ПФ	Линейная	Кобба-Дугласа	Леонтьева
Формула
Смысл параметров	a₁> 0, a₂ > 0 a₁= MP_1, a₂= MP₂ – производительности (отдачи) ресурсов	a₀ > 0_, - выпуск при единичных затратах ресурсов 0< a_i <1 , i=1,2 - эластичности выпуска по ресурсам	a₁> 0, a₂ > 0, ресурсы в заданной пропорции , - самый дешевый план, дающий единицу продукции:
Изокванты
Предельные продукты	MP₁= a₁ MP₂= a₂ постоянны	убывает	MP₁=1/a_1,MP₂=0 при ; MP₂=1/a_2 ,MP₁=0 при , где
Ресурсы	Полностью замещаемы постоянна	Частично замещаемы. убывает	Полностью дополняемы (никакого замещения)
Эффект масштаба	постоянный	Зависит от a₁+a₂: убывающий, если 0< a₁+ a₂<1, постоянный, если a₁+ a₂= 1, возрастающий, если a₁+ a₂> 1.	постоянный
Оптим. план по ресурсам – точка равновесия производителя х*	угловая	касательная	касательная