3. Математическое моделирование поведения продавца в условиях монополии

Теперь рассмотрим противоположную рыночную структуру – монополию.

Монополия- это такая рыночная структура, когда одному производителю (продавцу) противостоит много покупателей. Модель монополии основана на следующих допущениях:

• отсутствие совершенных заменителей товара (перекрестная ценовая эластичность спроса между продукцией монополиста и любым другим товаром близка к нулю),

• отсутствие свободы входа на рынок (отрасль)

• совершенная информированность монополиста о кривой спроса на свою продукцию (его кривая спроса совпадает с кривой рыночного спроса).

Отметим принципиальную разницу между моделью поведения совершенного конкурента и несовершенного, в том числе монополиста, при внешней схожести формул. У совершенного конкурента кривая спроса на его продукцию горизонтальна, цена совпадает с предельной выручкой и со средней выручкой, доход растет пропорционально количеству проданного товара. А несовершенный конкурент сталкивается с понижающейся кривой спроса, поэтому предельная выручка ниже цены, и только при продаже первой единицы товара предельная выручка равна его цене. Графически кривые спроса и предельного дохода выходят из одной точки на оси Ор, далее кривая предельного дохода лежит ниже кривой спроса (рис. 3).

Предположим, что фирма намерена произвести x единиц товара и продать их по цене p. Назовем вектор (x, p) планом монополиста. Будем считать, что продавец в процессе планирования рассматривает любые сочетания объема выпуска товара и цены его продажи. Такое планирование называется долговременным.

Будем предполагать, что продавец выбирает план (x, p) таким образом, чтобы максимизировать свою прибыль.

Можно показать, что при долговременном планировании любой план (x, p), не принадлежащий кривой спроса, не может принести монополисту наибольшую прибыль. Таким образом, ему следует рассматривать только такие планы, при которых спрос совпадает с предложением. Переменные не являются независимыми, поэтому в качестве оптимизируемой переменной надо выбрать одну из них, удобнее x.

Предположим, что продавец решил закупить x единиц товара (x  a). Весь товар будет реализован, если на него назначить цену в соответствии с законом спроса p=p(x) . При этом выручка (доход) продавца составит R(x) = xp(x) денежных единиц, а прибыль, соответственно, (x) = R(x) – C(x).

Таким образом, задача нахождения плана деятельности монопольного продавца, желающего получить в долговременном плане наибольшую прибыль, может быть формализована как следующая задача математического программирования:

(x)=R(x) – C(x)= xp(x) – C(x)  max, x[0, a],

где a – объем спроса на товар при p=0.

Решение задачи заведомо существует (в силу теоремы Вейерштрасса) и искать его следует либо среди критических точек функции прибыли, либо на границе допустимого множества задачи: при x=0 или при x= a .

Заметим, что решение задачи не может совпадать с правой границей допустимого множества, поскольку такое количество товара можно реализовать только бесплатно, и будет справедливо следующее неравенство: (a) = – C(a) < – C(0) = (0).

Таким образом, для решения задачи достаточно найти критические точки функции прибыли (x) из уравнения (x)=0, вычислить значение прибыли продавца в этих точках и сравнить полученные результаты с его постоянными издержками.

Если есть основания считать, что в долговременном плане продавцу не имеет смысла покидать рассматриваемый рынок, решение поставленной задачи можно получить графическим способом. Сделанное предположение означает, что решение задачи отлично от x=0, и достигается в некоторой критической точке x* функции прибыли:

(x*)=R (x*)–C(x*)=0.

Таким образом, продавец получит наибольшую прибыль при таком объеме предложения товара, при котором его предельный доход совпадет с предельными издержками. MR(x*)=MC(x*). Это равенство предельной выручки и предельных затрат называют необходимым условием оптимального плана. Выполнение условия максимума прибыли второго порядка в критической точке гарантирует, что эта найденная точка и есть оптимальный объем выпуска.

Геометрически проиллюстрируем решение задачи нахождения оптимального плана монополиста. Изобразим графики полученных функций предельного дохода R (x) и предельных издержек C(x) вместе с графиком функции спроса p(x) в одной системе координат (рис. 3):

При сделанных предположениях абсцисса точки пересечения кривой предельного дохода с кривой предельных издержек является точкой максимума прибыли, оптимальным объемом предложения x*. Найдя эту точку, можно, используя кривую спроса, определить цену товара р*, при которой спрос совпадет с предложением. Точка (x*, р*) на кривой спроса есть оптимальный план монополиста.

Поскольку в реальной экономической ситуации принцип максимизации прибыли редко реализуется в чистом виде, полезно знать, при каком объеме предложения доход продавца превышает его издержки и наоборот.

Точки x₁ и x₂ (объемы предложения, при которых доход продавца в точности равен его общим издержкам) называются точками безубыточности. Для их аналитического нахождения достаточно решить следующее уравнение:

R(x) = C(x).

Графически найдем точки безубыточности. Для этого построим (рис.4) в одной системе координат графики функций дохода R(x) и общих издержек C(x), абсциссы их точек пересечения есть те самые объемы выпуска (предложения), при которых доходы совпадают с издержками.

Рис. 4. Анализ прибыльности с помощью точек безубыточности

Таким образом, предложение товара в размере от x₁ до x₂ единиц товара позволит получить фирме положительную прибыль, иное предложение приведет к убыткам.

Свяжем предельный доход с эластичностью спроса:

MR=R( p) = x(p) + px(p) = x(p)[1+e_p(x)].

Выручка продавца достигает максимального значения при цене, когда MR=0, т.е. при обращении в 0 скобки 1+e_p(x)=0 e_p(x) = -1, что означает нейтральный спрос. При этом соответствующий объем спроса точка х_Е - точка пересечения кривой предельного дохода с осью ОХ.

При неэластичном спросе 1+e_p(x)<0 предельный доход отрицательный, а предельные затраты всегда положительны, поэтому необходимое условие максимальной прибыли просто невыполнимо. Следовательно, прибыль монополиста может быть максимальной лишь при эластичном спросе 1+e_p(x)>0 (e >1). В этом случае прибыль достигает своего наибольшего значения при меньшем объеме предложения, чем доход (на рис. 3 точка х* левее х_Е).