Решение

1. Найти длину ребра А₁ А₂.

(ед)

2. Найти угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄.

, отсюда

,

где и .

и ,

, значит .

3. Найти угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃.

Угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃ вычисляется по формуле: , где направляющий вектор прямой А₁ А₄, а - нормальный вектор плоскости (А₁ А₂ А₃). .

Составим уравнение плоскости (А₁ А₂ А₃).

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки

А₁ (0; 2; -2), А₂ (1; 0₁; -1) и А₃ (0; 5; -1) имеет вид:

; ;

;

;

;

(умножим на - 1);

- уравнение плоскости А₁ А₂ А₃.

- нормальный вектор плоскости А₁ А₂ А₃.

,

отсюда .

4. Найти площадь грани А₁ А₂ А_3.

Найдем векторное произведение векторов и .

S_{параллелограмма} ,

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, т.е. S_{треугольника} = (ед²).

5. Найти объем пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄.

Объем пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения трех векторов, т.е.

,

, и .

6. Составить уравнение прямой А₁ А_2.

- направляющий вектор прямой , точка лежит на прямой. Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид: , .

7. Составить уравнение плоскости А₁ А₂ А₃.

- уравнение плоскости А₁ А₂ А₃.

(Решение см. в пункте 3).

8. Составить уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁ А₂ А_3.

- уравнение плоскости А₁ А₂ А₃.

- нормаль плоскости А₁ А₂ А₃. Высота опущенная из вершины А₄ (0; 2; 1) на грань А₁ А₂ А₃ перпендикулярна к ней.

(А₁ А₂ А₃) и высота А₄H (А₁ А₂ А₃), следовательно ||(А₄H). Вектор является направляющим вектором высоты А₄H. Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид: , .

z

А₄

0 y

А₂ А₃

x

А₁

2.

а) Дан треугольник АВС с вершинами А (-5; 4), В (3; -2), С (-8; -5). Составить уравнение медианы СК и высоты АН.

Решение

1) А (х - х₀) + В (у – у₀) = 0, где (А; В) координаты нормального вектора прямой СК, (х₀; у₀) – координаты точки С (-8; -5).

Найдем координаты точки К.

; ; К (-1; 1); = (7; 6); нормальный вектор прямой СК имеет координаты (6; -7).

6 (х + 8) - 7 (у + 5) = 0

6х - 7у + 13 = 0 - уравнение медианы СК.

2) А (х - х₀) + В (у – у₀) = 0, где (А; В) координаты нормального вектора прямой АН, (х₀; у₀) – координаты точки А (-5; 4).

Нормальным вектором прямой АН является вектор = (11; 3).

11 (х + 5) + 3 (у - 4) = 0

11х + 3у + 43 = 0 - уравнение высоты АН.

у

А (-5; 4)

К

х

В (3; -2)

Н

С (-8; -5).

б) Даны две последовательные вершины параллелограмма А (- 5; 3) и В (2; 7), точка пересечения его диагоналей К (- 1; 2). Найти остальные вершины параллелограмма.

Решение 7 В

А 3

К

С х

- 5 - 4 - 1 3

Д - 3

Для нахождения координат точки С воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:

, , где - отношение , = 1, т.к диагонали в параллелограмме пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

и .

, . С (3; 1).

Для нахождения координат точки Д воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:

, , где - отношение , = 1, т.к диагонали в параллелограмме пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

и .

, . Д (- 4; - 3).

№ 3. Установить, какая линия определяется данным уравнением. Изобразить данную линию на чертеже, охарактеризовав ее.

а) х² + у² + 6х +10у – 15 = 0.

Преобразуем данное уравнение:

х² + 6х + 9 + у² + 10у – 9 – 25 - 15 = 0;

(х +3)² + (у + 5)² - 49 = 0 – уравнение окружности с центром в точке (- 3; - 5), радиусом 7.

у

х

О (- 3; - 5)

б) 9х² + 16у² = 144.

Разделим обе части уравнения на 144:

(каноническое уравнение эллипса ), а² = 16, b² = 9, значит, а = 4, b = 3.

Координаты вершин эллипса: А_1,2 ( а; 0), В_1,2 (0; b)

А_1,2 ( 4; 0), В_1,2 (0; 3); а > b.

Большая ось эллипса |А₁А₂| = 2а = 8, малая ось эллипса |В₁В₂| = 2 b =6.

Определим координаты фокусов (фокусы эллипса находятся на большой оси), для этого воспользуемся формулой с² = а² - b²;

.

Координаты фокусов: F_1,2 ( с; 0)

F_1,2 ( ; 0).

Э ксцентриситет эллипса (для случая b > а, ).

Построим график эллипса у

В₁ 3

А₂ F₂ F₁ А₁

- 4 - 4 х

- 3

В₂

в) 25х² - 9у² - 100х – 54у – 206 = 0.

Преобразуем данное уравнение:

(25х² - 100х) – (9у² + 54у) – 206 = 0;

25(х² - 4х) – 9(у² + 6у) – 206 = 0;

25(х² - 4х + 4) – 100 – 9(у² + 6у + 9) + 81 –206 = 0;

25(х – 2)² – 100 – 9(у + 3)² + 81 – 206 = 0;

25(х – 2)² – 9(у + 3)² – 225 = 0;

25(х – 2)² – 9(у + 3)² = 225;

– каноническое уравнение гиперболы со смещенным центром .

а² = 9, b² = 25, значит, а = 3, b = 5. Центр гиперболы находится в точке (2; - 3)

Координаты вершин гиперболы:

действительные вершины: А₁ (5; - 3), А₂ (- 1; - 3),

мнимые вершины: В₁ (2; 2), В₂ (2; - 8).

Действительная ось гиперболы |А₁А₂| = 2а = 6, мнимая ось гиперболы |В₁В₂| = 2 b  = 10.

Определим координаты фокусов (фокусы гиперболы находятся на действительной оси), для этого воспользуемся формулой с² = а² + b²;

.

Координаты фокусов: F₁ (5 + ; - 3), F₂ (2 - ; - 3).

Эксцентриситет эллипса (для случая ,

).

Построим график гиперболы

у

В₁

х

- 3 - 1 2

F₂ А₂ А₁ F₁

- 8 В₂

г) х = 1 - .

Преобразуем данное уравнение:

х - 1 = - ;

(х – 1)² = (- )²;

;

- общее уравнение параболы, с вершиной в точке (1; 3), направлением ветвей вниз, с осью симметрии х = 1.

Построим график параболы:

№ 4. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса и методом Крамера.