Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Производная функция.

Литература. [2], Гл. III, § 1-10; [3], Гл. V, § 1-2 задачи 1-138.

Можно использовать также [6], Гл. V, § 20; [7], Гл. VII, § 1, задачи 7.1.1., 7.1.6., 7.1.27., 7.1.78; [5], Гл. VII, § 1 задачи 736-738, 745-766.

2. Дифференцирование неявных и параметрических заданных функций.

Логарифмическое дифференцирование.

Литература. [2], Гл. III, § 11-12, 16, 18; [3], Гл. V, § 5-3 задачи 206-211.

Можно использовать также [6], Гл. V, § 21, 22; [7], Гл. VII, § 1, задачи 7.1.58., 7.1.65., 7.1. 72.; [5], Гл. VII, § 1 задачи 768-770, 896-897, 908.

3. Производная высших порядков.

Литература. [2], Гл. III, § 22; [3], Гл. V, § 4 задачи 162-191.

Можно использовать также [6], Гл. V, § 23; [7], Гл. VII, § 1, задачи 7.1.83.; [5], Гл. VII, § 1 задачи 945-949.

4. Дифференциал функции.

Литература. [2], Гл. III, § 20, 23; [3], Гл. V, § 3-4 задачи 146-161, 198-205.

Можно использовать также [6], Гл. V, § 24; [7], Гл. VII, § 2, задачи 7.2.1., 7.2.9., 7.2.13.; [5], Гл. VII, § 1 задачи 975-981; [3], Гл. V, § 3, 4., разобрать примеры 1-2, 3.

При вычислении производных используется таблица производных элементарных функций, применяются правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций, а также правило дифференцирования сложной функции.

Примеры решения типовых задач

№ 8. Найти производную указанного порядка:

1. 

= ;

;

2. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически.

_хх =

Найдем первую производную _х: _х =

_t = 2t, _t = 3t ², _х = .

Найдем вторую производную _хх: _хх =

_хх = = .

Задания контрольной работы № 1

1. сем

11-20

51-60

91-100

111-120

131-140

1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

1-10. Даны четыре вектора и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11-20. Даны координаты вершин пирамиды Найти: 1) длину ребра 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объём пирамиды; 6) уравнение прямой ; 7)уравнение плоскости ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21. Даны две вершины треугольника и точка пересечения его медиан Найти координаты вершины

22. Дано уравнение из сторон квадрата и точка пересечения его диагоналей , найти уравнения трёх остальных сторон квадрата.

23. Составить уравнения сторон треугольника , если известны координаты его вершин и точка пересечения его высот

24. Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами

25. Даны уравнения двух сторон треугольника и . Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке

26. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин и уравнения двух его высот и .

27. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , а также уравнения высоты и медианы .

28. Через точку проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольника, площадь которого равна 3. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

29. Даны две вершины треугольника и Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины на медиану, проведенную из вершины

30. Даны уравнения двух сторон квадрата и одна из его вершин .Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.

31. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки и от оси абсцисс. Сделать чертеж.

32. Составить уравнение линии, каждая точка которой удалена от точки вдвое дальше, чем от оси ординат. Сделать чертеж.

33. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки , чем от точки Сделать чертеж.

34. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от начала координат и от прямой относятся как 3:5. Сделать чертеж.

35. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точек и относятся как 2:1. Сделать чертеж.

36. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки вдвое дальше, чем от прямой . Сделать чертеж.

37. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точки и от точки относятся как 3:4. Сделать чертеж.

38. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки и от прямой . Сделать чертеж.

39. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки втрое больше расстояние от прямой . Сделать чертеж.

40. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки равно расстоянию от оси координат. Сделать чертеж.

41-50. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется 1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

41. . 46. .

42. . 47. .

43. . 48. .

44. . 49. .

45. . 50. .