6. Локальная теорема Муавра-Лапласа, интегральная теорема Лапласа, распределение Пуассона

10. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна . Поступило вызовов. Определить вероятность сбоев.

Исходные данные:

Решение. В данной задаче мы имеем дело со схемой Бернулли: вероятность события («сбой» при вызове телефонной станции) постоянна, результаты вызовов никак между собой не связаны, т.е. независимы. Вероятность того, что в серии из испытаний произойдет «сбоев», определяется формулой Бернулли

где – вероятность успешного вызова.

Поэтому задачу можно решить точно:

Однако в теории вероятностей для схемы Бернулли есть две приближенные формулы: одна из них связана с локальной теоремой Муавра-Лапласа, другая – с распределением Пуассона.

Формула Муавра-Лапласа

Подставляя исходные данные, получаем:

Это значение довольно сильно отличается от точного результата (примерно на 12 %), но это и неудивительно: формула Муавра-Лапласа пригодна для не очень малых значений или .

Формула Пуассона получена для случая , при этом считается, что величина постоянна:

.

Теперь получается результат

который отличается от точного всего на 0,5%.

Эту задачу полезно решить всеми тремя способами, что позволит студенту уяснить смысл и область применения приближенных вычислений в схеме Бернулли.

11. Вероятность наступления некоторого события в каждом из независимых испытаний равна . Определить вероятность того, что число наступления события удовлетворяет неравенству .

Исходные данные:

Решение. Снова представлена схема независимых испытаний Бернулли, только теперь требуется определить вероятность попадания числа наступления событий в отрезок . Для достаточно больших значений задачу естественно решать в соответствии с интегральной формулой Лапласа

Здесь – функция Лапласа Таблицы этой функции имеются, например, в [2], Приложения, таблица II.

В соответствии с исходными данными

По таблицам находим

Ответ:

Замечание. Поскольку в серии из испытаний , то вместо неравенств вида или при решении некоторых вариантов данной задачи следует использовать неравенства или .