7. Равномерный и нормальный законы распределения

12. Дана плотность распределения случайной величины :

Найти: параметр , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства .

Исходные данные:

Решение. Плотность постоянна при – это означает, что речь идет о равномерном законе распределения. Одно из основных свойств плотности:

,

которое называется условием нормировки. Для равномерного закона

откуда

Тогда . Таким образом

Математическое ожидание находим по стандартной формуле

Чтобы найти дисперсию , предварительно вычислим

Тогда

Функция распределения связана с плотностью соотношением

.

В нашем случае: если , то и Если , то

. Наконец, если , то

Таким образом

Найдем вероятность выполнения неравенства .

Ответ:

;

13. Плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид:

.

Найти: параметр , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства .

Исходные данные:

Решение. Преобразуем показатель экспоненты в выражении для , выделив в нем полный квадрат:

Тогда

.

Если сравнить с плотностью нормального распределения

,

где и – математическое ожидание и дисперсия, то становится очевидным, что нам задано нормальное распределение; при этом

т.е. , а , откуда

Функция распределения F(х) для нормального закона определяется равенством:

.

Cделаем замену переменных: , тогда . Тогда

Мы воспользовались условием нормировки:

,

и выразили интеграл через так называемую функцию Лапласа:

.

Таблицы функции , как уже указывалось ранее, имеются в Приложении II в[2].

Осталось вычислить вероятность неравенства .

.

По таблице находим

Ответ: