8. Точечные и интервальные оценки. Метод максимального правдоподобия

14. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

Варианта	2	5	7	10
Частота	16	12	8	14

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) в математической статистике называют среднее арифметическое значение

где – выборка наблюдаемых значений, – объем выборки. Если некоторые наблюдаемые значения (варианты) повторяются, то указывают различные варианты и частоты их повторения , как это и сделано в данной задаче. Тогда оценку находят по формуле

где – объем выборки. Поэтому

Ответ: .

15. В итоге пяти измерений длины стержня (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Решение. а) Найдем выборочною среднюю:

б) Выборочной дисперсией в математической статистике называют величину

Эта оценка является смещенной и на практике используют так называемую исправленную дисперсию:

Ответ:

16. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией . По выборке объема вычислено выборочное среднее . Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения , отвечающий заданной доверительной вероятности .

Исходные данные:

Решение. Доверительный интервал для математического ожидания определяется границами

,

где значение параметра находится из соотношения , – функция Лапласа. В нашей задаче , по таблицам [2] находим . Тогда и доверительный интервал

Ответ: .

17. Найти методом максимального правдоподобия по выборке объема точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения, плотность которого

Решение. Составим функцию правдоподобия

Удобнее воспользоваться логарифмической функцией правдоподобия

Найдем первую производную по и запишем уравнение правдоподобия:

Разрешим это уравнение относительно и найдем критическую точку:

где – выборочная средняя.

Чтобы убедиться, что мы отыскали не минимум, а максимум, убедимся, что в критической точке вторая производная отрицательна:

Таким образом, оценкой максимального правдоподобия является величина, обратная выборочной средней:

Ответ: