Пример 4 Плоский изгиб

Для балки на двух опорах ( рис. 4.1) необходимо:

- определить реакции связей;

- построить эпюры , ;

- определить опасное сечение и из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать размеры круглого, прямоугольного и стандартного двутаврового поперечных сечений;

- сравнить балки разных поперечных сечений по массе;

- проверить балки всех трех сечений на прочность по касательным напряжениям.

Дано: ;

; ; ; .

Материал балки сталь 3, соотношение высоты и ширины прямоугольного поперечного сечения 2:1.

Решение

1. Реакции связей определим из условий уравновешенности, так как рассматриваемая конструкция статически определима. Используем условия уравновешенности плоской системы сил.

; ; ;

(4.1)

Решение системы (4.1):

;

;

Рис. 4.1

2. Выделяем на балке участки с различными значениями внутренних силовых факторов (границами участков являются сечения, в которых появляются или исчезают внешние нагрузки и реакции связей).

Рассматриваемая балка имеет четыре участка: Используя метод сечений, определяем ВСФ на каждом участке:

- участок (рис. 4.1а), где :

;	(4.2)
;	(4.3)

- участок (рис. 4.1б), где :

;	(4.4)
;	(4.5)

- участок (рис. 4.1в), где .

;	(4.6)
;	(4.7)

Следует обратить внимание на начало и направление отсчета переменных , чтобы правильно строить графики зависимостей на этом участке и участке .

- участок (рис. 4.1г), где .

;	(4.8)
;	(4.9)

Зависимости (4.2) ... (4.9) графически представлены на рис. 4.1 в виде графиков эпюры поперечного усилия и эпюры изгибающего момента. Эпюры ВСФ позволяют определить опасные сечения балки для выполнения расчетов на прочность.

3. Поперечное сечение балки по ее длине не изменяется, так определено условиями задачи. Следовательно, наибольшие касательные напряжения имеют место в сечениях участка , где ; а максимальные нормальные напряжения имеют место в сечении бесконечно близко справа, где .

Расчетные формулы для определения нормальных и касательных напряжений в произвольной точке поперечного сечения имеют вид:

	(4.10)
	(4.11)

Условия прочности по нормальным и касательным напряжениям можно записать так

	(4.12)
	(4.13)

Из условия прочности (4.12) определяем минимальное значение момента сопротивления изгибу для рассматриваемой балки

Используя таблицу геометрических характеристик двутавра ГОСТ 8239 − 89 , выбираем двутавр №18. Все геометрические характеристики профиля можно найти в приведенном фрагменте таблицы. Наиболее важными обычно являются: номер двутавра - (совпадает с высотой твутавра в сантиметрах), высота двутавра , ширина полки , площадь поперечного сечения , погонная масса профиля , осевые моменты сечения , осевые моменты сопротивления изгибу , радиусы инерции , статический момент половины сечения относительно оси .

рис.4.2

Двутавры стальные горячекатаные ГОСТ 8239 − 89
Номер двутавра	h	b	s	t	R	r	Площадь попереч- ного сечения см2	Пог. Масса кГ/м	Справочные значения для осей
									X-X					Y-Y
					не более				Ix см4	Wx см3	ix см	Sx см3	Iy см4		Wy см3	iy см
	мм
10	100	55	4.5	7.2	7.0	2.5	12.0	9.46	198	39.7	4.06	23.0	17.9		6.49	1.22
12	120	64	4.8	7.3	7.5	3.0	14.7	11.50	350	58.4	4.88	33.7	27.9		8.72	1.38
14	140	73	4.9	7.5	8.0	3.0	17.4	13.70	572	81.7	5.73	46.8	41.9		11.50	1.55
16	160	81	5.0	7.8	8.5	3.5	20.2	15.90	873	109.0	6.57	62.3	58.6		14.50	1.70
18	180	90	5.1	8.1	9.0	3.5	23.4	18.40	1290	143.0	7.42	81.4	82.6		18.40	1.88
20	200	100	5.2	8.4	9.5	4.0	26.8	21.00	1840	184.0	8.28	104.0	115.0		23.10	2.07
22	220	110	5.4	8.7	10.0	4.0	30.6	24.00	2550	232.0	9.13	131.0	157.0		28.60	2.27
24	240	115	5.6	9.5	10.5	4.0	34.8	27.30	3460	289.0	9.97	163.0	198.0		34.50	2.37

Выбирая двутавр №18, мы соглашаемся с увеличением действующих максимальных напряжений против допускаемых напряжений на

4,2%.

В практических расчетах превышение допускаемых напряжений не должно превышать 5%. В рассматриваемом примере эта норма соблюдается, если , если . Превышение допускаемых уровня напряжений составляет .

В дальнейшем при решении задачи рассматриваем двутавровую балку № 18. Ее характеристики указаны выше: , , , , , о , , .

Теперь определим безопасные размеры круглого и прямоугольного поперечных сечений.

Для сплошного сечения в форме круга диаметром , тогда из условия прочности ; Площадь сечения

Рис.4.3

Для сплошного сечения в форме прямоугольника с соотношением сторон , тогда из условия прочности ; Площадь сечения

Рис. 4.4

Сравним по массе три стержня различной формы поперечного сечения

Балка круглого сплошного поперечного сечения имеет массу в 4,44 раза превышающую массу двутавровой балки, масса балки прямоугольного сплошного сечения превышает массу двутавровой балки в 3,15 раза !!!

Полученный результат хорошо иллюстрирует наличие рациональной формы поперечного сечения при плоском изгибе, когда за счет рационального распределения материала в поперечном сечении удается сохранить способность воспринимать действующую нагрузку при уменьшении массы конструкции.

4. Теперь проверим балки различных сечений на прочность по касательным напряжениям. Используем формулу (4.13), где статический момент части сечения, расположенной выше или ниже линии параллельной оси и проходящей через точку сечения, в которой определяются касательные напряжения (см. рис. 4. )

Максимальное значение имеет тогда, когда напряжение определяется в точках сечения, расположенных на оси (рис.4.5).

Для двутаврового сечения эта величина приводится в таблице характеристик сечения и в нашем примере

;

для прямоугольного сечения

для круглого сечения

соответственно значения максимальных касательных напряжений в сечениях:

для двутаврового сечения

для прямоугольного сечения (

для круглого сечения

Рис. 4.5

Рис. 4.6

Следует обратить внимание на тот факт, что в круглом и прямоугольном сплошных сечениях максимальные касательные напряжения на порядок ниже, чем в тонкостенном стержне, каким является двутавровая балка. Если принять во внимание распределение нормальных и касательных напряжений в сечении тонкостенного стержня (см. рис. 4.6.), то опасной может оказаться точка сечения где есть, пусть и не самые большие, и нормальные и касательные напряжения .

Этот вопрос решается с использованием гипотез прочности.

Отвечая на вопрос, сформулированный в условии задачи, констатируем максимальные касательные напряжения ни в одном из трех сечений не превышают допускаемой величины.