Задача №6

Для заданной статически неопределимой системы рассчитать усилия в прикрепляющих стержнях и определить площади их поперечных сечений, удовлетворив условию прочности.

Определить вертикальное перемещение шарнира и горизонтальное перемещение шарнира

Исходные данные:

F, kH	q, kH/м	a, м	b, м	c, м				α	β	, МПа
50	60	0,45	0,85	0,3	0,5	0,55	0,6	1,2	0,75	260	1,5

Решение

1. Наложенные на абсолютно твердое тело связи можно заменить реакциями связей, которые показаны на рис. 6.1с). Действующая на тело система сил является плоской произвольной. Определить неизвестные реакции связей из трех условий уравновешенности не представляется возможным. Задача статически неопределима.

2. Необходимо составить одно уравнение совместности деформаций. Воспользуемся геометрической картиной деформации системы, принимая во внимание малую величину продольных деформаций прикрепляющих стержней и (см. рис.6.1 b), d), e) ). Если угол поворота тела относительно шарнира , то очевидно:

; ;

Тогда

; ;	(6.1) (6.2)

После исключения из зависимостей (6.1) и (6.2) угла находим уравнение совместности деформаций стержней и

(6.3)

Принимая во внимание закон Гука из зависимости (6.3), получаем

(6.4)

где

3. К условию совместности деформаций (6.4) присоединяем условия уравновешенности сил, действующих на абсолютно твердое тело (см. рис. 6.1с))

	(6.5)

4. Результат совместного решения уравнений статики и условия совместности деформаций следующий

	(6.6)

5. Теперь определим площадь поперечных сечений первого и второго стержней конструкции.

Допускаемые напряжения согласно условиям задачи

Из условия прочности каждого стержня определяем минимальное значение площади :

-из условия прочности стержня

Принимаем . Если допустить увеличение массы конструкции, то можно принять . Тогда принимаем

6. Как следует из представлений о деформации конструкции:

- перемещение шарнира по вертикали равно абсолютному укорочению стержня

- перемещение шарнира по горизонтали связано с абсолютным укорочению стержня 2

Замечание. Следует обратить внимание на малую величину перемещений шарниров и D при сравнении с абсолютной длиной стержней , что подтверждает допущение о их перемещении по направлениям и соответственно.

Задача 7 Расчет статически неопределимой балки

Для заданной балки необходимо:

- раскрыть статическую неопределимость;

- построить эпюры , ;

- определить опасное сечение по нормальным напряжениям и из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать стандартный двутавровый профиль;

- проверить прочность по третьей и четвертой гипотезам прочности в трех точках поперечного сечения с наибольшим изгибающим моментом: в точке, где ; в точке, где ; в точке стыка полки двутавра с его стенкой.

Дано:

Решение

Рис. 7.1

1. Рассматриваемая балка один раз статически неопределима. Трех уравнений статики недостаточно для определения четырех реакций связей. Горизонтальная реакция связи в опоре известна по определению (использовано одно условие уравновешенности).

Неизвестные реакции связей должны удовлетворять следующим условиям уравновешенности (рис. 7.1a).

	(7.1)

2. Для раскрытия статической неопределимости составим условие совместности деформаций. Для этого рассмотрим статически определимую систему, которая получена из заданной системы отбрасыванием опоры и заменой ее действия на балку неизвестной силой (рис. 7.1 b)).

Если значение неизвестной силы будет равно реакции связи , то перемещение точки приложения силы по направлению ее действия будет равно нулю, что имеет место в исходной задаче.

Это означает, что

где перемещение сечения по вертикали, обусловленное действием неизвестной по величине силой ;

перемещение сечения по вертикали, обусловленное

действием заданной нагрузки ; (см. рис. 7.2)

Рис.7.2

Если ввести понятие перемещения от единичной силы (силы ) , то можно записать: (7.2) здесь перемещение точки приложения силы в направлении ее действия. Это и будет условие совместности деформаций в решаемой задаче, которое и определяет величину неизвестной реакции связи.