6. Уравнения в полных дифференциалах.

Определение 6.1.Уравнение вида (6.1), где левая часть дифференциального уравнения первого порядка является полным дифференциалом некоторой неизвестной функции , т.е.

,

а -называется уравнением в полных дифференциалах.

Чтобы уравнение (6.1) было уравнением в полных дифференциалах Необходимо и Достаточно ,чтобы

.

Для решения уравнения в полных дифференциалах решим эквивалентное ему уравнение .

Интегрирование этого уравнения приведет к общему решению , где -произвольная постоянная.

Для нахождения функции проинтегрируем ,например, первое уравнение по переменной при фиксированном значении .

.Произвольная константа может зависеть от переменной , так как при интегрировании по переменная рассматривается как постоянная.

Подставим во второе уравнение найденное .

;

Далее проинтегрируем по переменной при фиксированном , найдем и восстановим

.

Функцию можно также найти и интегрированием второго уравнения по переменной при фиксированном значении

,

а потом – первого уравнения по переменной при фиксированном .

Пример 6.1.

Найти общий и частный интегралы уравнения ,

при .

Решение.

,

следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Проинтегрируем уравнение по переменной при постоянном .

.

Подставим полученное выражение в уравнение и получим

, где -произвольная постоянная. Тогда функция принимает вид: , а общий интеграл уравнения -

Используя начальные условия, найдем частный интеграл уравнения:

Частное решение уравнения имеет вид

Задачи для самостоятельного решения.

Найти общее (частное) решение уравнения

Найти общий интеграл уравнения:

6.1.

6.2.

6.3.

Ответы:

6.1. ;

6.2. ;

6.3.

Контрольные вопросы.

1. Какое уравнение называется дифференциальным? Как определяется порядок уравнения? Запишите его общий вид Приведите примеры.

2. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка? Запишите его общий вид. Приведите примеры.

3. Что называется решением дифференциального уравнения первого порядка Запишите его общий вид. Приведите примеры.

4. Сформулируйте теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка

5. Сформулируйте задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Что называется общим и частным решением дифференциального уравнения первого порядка? Общим и частным интегралом?

6. Какое решение называется особым решением дифференциального уравнения?

7. Каков геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решения?

8. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными? Приведите примеры.

9. Какая функция называется однородной функцией -ого порядка? Нулевого порядка? Первого порядка? И т.д. Приведите примеры.

10. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным? Приведите примеры.

11. Метод решения однородного уравнения.

12. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным относительно переменной ?Относительно переменной ?Приведите примеры.

13. Методы решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.

14. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением Бернулли? Метод его решения.

15. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах? Приведите примеры. Метод решения.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Справочная таблица №1

Тип уравнения	Вид уравнения	Признаки уравнения	Указания к решению
1. Уравнение с разделяющимися переменными	а) б)	а) б)	а) б)
2. Однородное уравнение	а) б)	а) б)	а) Подстановкой y=ux, уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными. б) уравнение удобно предварительно записать в виде
3.Линейное уравнение			1. Метод вариации произвольной постоянной 2. Метод Бернулли ,
4. Уравнение Бернулли		;	Решается тем же методом, что и тип 3.
5.Уравнение в полных дифференциалах.			или -область определения функций и

Замечание. Если удобно рассматривать уравнение не в виде , а в виде , где , то всюду в указаниях надо поменять местами x и y