II. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков.

7. Общие понятия

Определение 7.1.Обыкновенным дифференциальным уравнением -ого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x,искомую функцию и её производные , , ,… , то есть уравнение вида . (7.1)

Или .(7.2),если оно разрешено относительно старшей производной.

Определение 7.2.Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая раз дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

После интегрирования уравнений (7.1) и (7.2),получим общее решение в виде или общий интеграл , где произвольные постоянные. Причем их число равно порядку дифференциального уравнения.

Определение 7.3 Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения -ого порядка (7.1) или (7.2), означает найти частное решение уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям , , ,…, (7.3),

Которые задают систему алгебраических уравнений -ого порядка для определения .

Интегрирование дифференциальных уравнений -ого порядка в конечном виде удается произвести только в некоторых частных случаях.

8. Уравнения вида . (8.1)

Решение этого уравнения сводится к -кратному интегрированию.

;

…………………………………………….. и т.д.

Общее решение уравнения имеет вид

,.

где

9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Некоторые дифференциальные уравнения удается решить, понизив порядок уравнения. Это возможно в следующих случаях:

Уравнение не содержит искомой функции и её первых частных производных до - ого порядка включительно,то есть уравнение имеет вид: (9.1)

Если младшую из имеющихся производных принять за новую функцию (т.е сделать подстановку , то , ,…, и порядок уравнения снижается до -ого: .

Уравнение не содержит в явном виде независимую переменную .

Уравнение имеет вид . (9.2).

Если функцию принять за новую независимую переменную , а -за новую функцию (т.е. сделать замену ), то порядок уравнения понизится на единицу.

Пример 9.1 Найти частное решение уравнения

,

Решение. Данное уравнение типа (9.1), так как не содержит явно y. Применим замену , тогда - это линейное уравнение первого порядка относительно z(x). Решим это уравнение методом Бернулли:

;

(1) .

(2) .

, - это уравнение допускает понижение порядка , найдем общее решение

или

Найдем частное решение . Используя начальные условия, получим систему двух уравнений для нахождения С₁ и С₂.

Частное решение уравнения:

Пример 9.2 Найти общее решение уравнения .

Решение. Уравнение не содержит в явном виде независимую переменную x, то есть имеет вид (9.2). Выполним замену ; , уравнение примет вид или – уравнение с разделяющимися переменными.

, , , или .

Разделим переменные и проинтегрируем ,

- общий интеграл или - общее решение.

Пример 9.3 Решить задачу Коши , ,

Решение. Это уравнение типа (8). Последовательным интегрированием найдем общее решение

,

,

.

Общее решение имеет вид:

Для нахождения частного решения составим систему уравнений относительно C₁, C₂, C₃, используя начальные условия.

Частное решение .

Задачи для самостоятельного решения.

Найти общее (частное) решение уравнения

9.1. .

9.2. .

9.3. ; , .

9.4. .

9.5. , , .

Ответы:

9.1. ;

9.2. ;

9.3. ;

9.4. ;

9.5. .

Контрольные вопросы.

1. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением 2-го, n-го порядка? Приведите примеры.

2. Как определяются общее и частное решения уравнения 2-го, n-го порядка? Запишите общий вид этих решений.

3. Способы решения уравнений, допускающих понижение порядка, перечислите их. Приведите примеры.

Cправочная таблица 2

Алгоритм решения уравнения	Тип уравнения	Признак типа	Метод понижения порядка
1. Определить тип уравнения. 2. Понизить порядок уравнения. 3. Решить полученное уравнение 1-го порядка (см.табл.1.) относительно функции z или p. 4. Возвратиться к первоначальной переменной, заменив z(x) или p(y) на . 5.Решить вновь полученное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.		Нет явно	Последовательное интегрирование два раза
		Нет явно y	Ввести подстановку: y=z(x),
		Нет явно x	Ввести подстановку: