13. Системы дифференциальных уравнений

13.1 Нормальная система дифференциальных уравнений.

Определение 13.1.Система дифференциальных уравнений вида

(13.1)

где —неизвестные функции независимой переменной t, называется нормальной системой.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению n-го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).

В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения (так называемый метод интегрируемых комбинаций), что позволяет найти решение системы.

Пример 13.1.: Решить систему дифференциальных уравнений

при начальных условиях .

Продифференцируем по t первое уравнение: исключая из полученного уравнения и ,имеем . Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, общее решение для х запишется в виде

.

Общее решение для находим из первого уравнения:

Воспользуемся начальными условиями для нахождения произвольных постоянных:

Отсюда . Таким образом, искомое частное решение имеет вид

Пример 13.2. Решить систему дифференциальных уравнений

при начальных условиях .

Составим первую интегрируемую комбинацию. Разделив первое уравнение на второе, получим

, то есть

Составим вторую интегрируемую комбинацию. Сложив удвоенное первое и утроенное второе уравнения, получим

Из системы уравнений

находим общее решение системы

,

Используя начальные условия, получаем

, , т.е

Частные решения, удовлетворяющие начальным условиям , имеют вид:

Решение линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью матриц (видоизмененный метод Эйлера).

Пусть дана система п линейных дифференциальных уравнений с п неизвестными функциями, коэффициенты которой постоянные:

Эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения , где

, , .

Благодаря свойству собственных чисел и собственных векторов матриц ,где -собственные числа ,а - собственные векторы матрицы А, решение системы будем искать в виде , где -произвольные постоянные.

Чтобы найти и решим характеристическое уравнение

,где

Решая данное уравнение относительно ,получим корней характеристического уравнения ,которые являются собственными числами матрицы А.Каждому собственному числу соответствует собственный вектор .Его координаты найдем из системы уравнений

;

.

Тогда решение системы запишется в виде:

; или

Общее решение системы имеет вид:

,

Оно может быть записано иначе

,

где - фундаментальная система решений.

Пример 13.3.Найти общее решение системы уравнений

Составим характеристическое уравнение матрицы системы

; или

Его корни -собственные ( или характеристические) числа матрицы.

При уравнения для определения собственного вектора имеют вид и сводятся к одному уравнению .

Последнее определяет вектор

При получаем уравнения или . Это уравнение определяет вектор

Получаем фундаментальную систему решений:

Общее решение системы имеет вид или

Пример 13.4. Найти общее решение системы уравнений

Составляем характеристическое уравнение матрицы системы:

Раскрывая определитель, находим

или окончательно .

Это уравнение имеет корни Определяем собственные векторы матрицы А.

При получаем систему уравнений

,

одно из которых — следствие двух других.

данная система имеет множество решений . Отсюда , приняв , например, получим .Тогда вектор .

При имеем систему

Снова используя первые два уравнения (третье— их следствие), находим

собственный вектор .

При имеем систему

Из последнего уравнения находим . Подставляем это значение в первое уравнение и находим . Приняв , получаем , т.е. собственный вектор

Общее решение системы имеет вид ;

Или ,

Задачи для самостоятельного решения.

Найти общее (частное) решение системы уравнений

13.1.

13.2.

Ответы:

13.1.

13.2.

Библиографический список

1. Кузнецов М.Л., Киселев А.и,, Макаренко Г.И. и др. Вся высшая математика. т.3.М. Эдиториал УРСС. М. 2001.

2. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. Высш.шк. 1998.

3. Зарецкая М.А. Трофимова В.Ш. Шарабуряк Ю.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения, системы уравнений. Магнитогорск. ГОУВПО МГТУ. 2006.

4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: М.Наука 1987.

28