§2.Сложные проценты

2.1.Вывд формулы сложных процентов:

где наращенная сумма, проценты, _- сложная процентная ставка, - множитель наращения.

Капитализация процентов заключается в присоединении процентов к сумме, которая служила базой для их определения. Период начисления - разность между моментами капитализации процентов (период, в конце которого осуществляется начисление процентов).

Пример 2.1. В какую сумму обратится долг, равный 10 тыс. руб. через 5 лет при сложной процентной ставке 5,5 процентов?

Ответ: 13,0696 тыс. руб.

2.2.Линейная интерполяция для определения множителей наращения.

Пусть - множитель наращения. Тогда:

Пример 2.2. Определить множитель наращения для _i= 6,2%, лет. Пусть ближайшие табличные значения множителя имеются только для % и %: они равны 1,7908477 и 1,8771375.

Ответ: 1,82536360.

2.3.Плавающая переменная ставка:

Пример 2.3. Процентная ставка по ссуде определена на уровне 8,5% плюс маржа 0,5% в первые два года, 0,75% в следующие три года. Найти множитель наращения в этом случае.

Ответ: 1,54923512.

Сравнение множителей наращения по простым процентам и по сложным процентам при процентной ставке 8% для временной базы дней.

	Срок ссуды
Множители наращения	30 дн.	180 дн.	1год	5 лет	10 лет	50 лет	100 лет
	1,00657	1,0394	1,08	1,4	1,8	5,0	9,0
	1,00635	1,0392	1,08	1,47	2,16	46,9	2199

2.4. Определение числа лет при многократном увеличении ссуды:

Для сложных процентов число лет определяется следующей формулой:

Для простых процентов число лет определяется другой формулой:

Пример 2.4. Определить число лет, необходимое для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя сложные и простые проценты, ставка 5%.

Ответ: 33 и 80.

2.5. Смешанная ставка процентов (для целых периодов применяется сложная процентная ставка, а для оставшегося дробного применяется простая процентная ставка).

Пример 2.5. Кредит в размере 30 тыс. руб. выдан на срок 3 года и 160 дней. При условии, что обусловленная в контракте ставка равна 6,5% и предусмотрен смешанный метод начисления процентов, найти наращенную сумму.

Ответ: 37,27 тыс. руб. (

2.6.Номинальная ставка процентов.

Проценты начисляются раз в год:

,

где - номинальная годовая ставка процентов.

Пример 2.6. Первоначальная сумма ссуды равна 10 тыс. руб, срок ссуды 5 лет, проценты начисляются в конце каждого квартала, номинальная годовая ставка ^равна 5%. Требуется определить наращенную сумму.

Ответ: 12,82037.

2.7.Смешанная номинальная ставка (см. 2.5).

Пример 2.7. Чему равна наращенная сумма, равная 10 тыс. руб., через 25 месяцев, если проценты начисляются ежеквартально. Номинальная ставка равна 6%.

Ответ: 11,32097.

2.8.Эффективная ставка процентов - это сложная годовая ставка процентов, которая дает тот же результат, что и номинальная ставка процентов. Из формул 2.1 и 2.6 получаем

Пример 2.8. Пусть банк начисляет проценты на вклад по номинальной ставке 12 % годовых. Найти эффективную годовую ставку при ежедневной капитализации процентов ( ).

Ответ: 12,74746.

В следующей таблице приведено сравнение номинальных и эффективных ставок процентов при разных сроках капитализации (m).

3	3,02	3,03	3,04
5	5,06	5,09	5,12
8	8,16	8,24	8,30
10	10,25	10,38	10,47