Справочный материал по теме "Аналитическая геометрия на плоскости"
1. Декартова система координат (дск) на плоскости
Расстояние |АВ| между двумя точками А(хА; уА) и В(хВ; уВ) (рис. 1):
|AB|
=
.
(1)
Деление отрезка в заданном отношении. Если точка С делит отрезок АВ в отношении λ, начиная от точки A (рис. 1),
т
.
е.
,
то координаты точки C:
.
(2)
Если точка С делит отрезок АВ пополам, т.е. =1, то координаты точки C:
.
(3)
В ДСК уравнение линии имеет вид F(х, у) = 0 или у = f(х).
2. Полярная система координат (пск)
П
оложение
точки М в ПСК (рис. 2) определяют две
координаты: М
,
где r – полярный
радиус (r = |0M|),
φ =
– полярный угол.
ОДЗ
для полярных координат:
или
Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то получим формулы связи между декартовыми координатами точки M(x; y) и ее полярными координатами М :
и
(4)
Чтобы найти полярный угол φ по известному значению tgφ, нужно учесть, в какой четверти координатной плоскости находится точка М:
(5)
В ПСК уравнение линии имеет вид F(r, φ) = 0 или r = f(φ).
3. Прямая линия на плоскости
О
бщее
уравнение прямой на плоскости:
Ах + В у + С = 0.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 3):
у = k x + b. (6)
Уравнение вертикальной прямой (рис. 3):
х = а. (7)
Уравнения прямых, проходящих через одну заданную точку М(х0; у0) (уравнение пучка прямых):
у – y0 = k(x – x0). (8)
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А(х1; у1) и В(х2; у2):
.
(9)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
.
(10)
Пусть на плоскости заданы две прямые, которым соответствуют уравнения с угловыми коэффициентами: у = k1 x + b1 и у = k2 x + b2.
Условие параллельности прямых на плоскости:
k1 = k2. (11)
Условие перпендикулярности прямых:
.
(12)
Если одна из двух перпендикулярных прямых вертикальная, т.е. k2 не существует, то k1 = 0 и обратно: если k2 = 0, то k1 не существует.
Тангенс острого угла между пересекающимися прямыми можно найти, используя формулу:
,
(13)
откуда
.
Если одна из прямых вертикальная, т.е.
k2
не существует,
то
.
4. Кривые второго порядка
К
аноническое
уравнение эллипса:
.
(14)
Термины и обозначения основных элементов эллипса (рис. 4):
O – центр эллипса;
с – фокусное расстояние;
F1(–c; О), F2(c; О) – фокусы эллипса;
|А1А2| = 2a – длина большой оси;
а – большая полуось эллипса;
|B1B2| = 2b – длина малой оси;
b – малая полуось эллипса.
Для эллипса справедливо: c2 = a2 – b2.
Число
называется эксцентриситетом эллипса
.
Если a < b, то эллипс имеет вытянутую по вертикали форму (рис. 5).
В
этом случае фокусы эллипса F1(О;
–c),
F2(О;
c),
эксцентриситет
и справедливо
c2
=
b2
– a2.
Если a = b, то уравнение эллипса становится уравнением окружности:
x2 + y2 = R2,
где R= a= b.
В
этом случае фокусы эллипса совпадают
с центром окружности, фокусное расстояние
с = 0,
эксцентриситет окружности
.
Каноническое уравнение гиперболы:
.
(15)
Т
ермины
и обозначения основных элементов
гиперболы (рис. 6):
O – центр гиперболы;
с – фокусное расстояние;
F1(–c; 0), F2(c; 0) – фокусы гиперболы;
|А1А2| = 2a – длина вещественной оси;
а – вещественная полуось гиперболы;
|B1B2| = 2b – длина мнимой оси;
b – мнимая полуось гиперболы.
Уравнения асимптот гиперболы:
.
Для гиперболы справедливо: с2 = a2 + b2.
Число
называется эксцентриситетом гиперболы
.
Канонические уравнения параболы.
Рис. 7 |
Существуют 4 вида канонических уравнений параболы: х2 = 2ру. (16)
Фокус F(0;
х2 = –2ру. (17) Фокус F(0; – ), уравнение директрисы: у = . у2 = 2рх. (18) Фокус F( ; 0), уравнение директрисы: х = – . у2 = –2рх. (19) Фокус F(– ; 0), уравнение директрисы: х = . |
Рис. 8 |
|
Рис. 9 |
|
Рис. 10 |
),
уравнение директрисы:
у = –
.
Термины и обозначения основных элементов параболы: O – вершина параболы, F – фокус параболы, p – параметр параболы (расстояние от фокуса F до директрисы l).
Для приведения уравнения кривой со смещенным центром к каноническому виду может быть использован параллельный перенос системы координат в точку O1(α; β).При параллельном переносе координаты любой точки М (х; у) в новой системе координат X1O1Y1 будут (х1; у1), где
(20)
Примеры таких преобразований приведены в табл. 2.
Таблица 2
В системе координат ХОY |
В системе координат X1O1Y1 |
Окружность с центром в точке O1(α; β) и с радиусом R:
|
Каноническое уравнение окружности:
|
Эллипс с центром в точке O1(α; β):
|
Каноническое уравнение эллипса:
|
Гипербола
с центром в точке O1(α;
β):
|
Каноническое
уравнение гиперболы:
|
Параболы
с вершиной в точке O1(α;β)
или
|
Канонические уравнения парабол:
|
.
.
или
