4. Решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

Пусть дана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными :

(28)

(коэффициенты a_ij и свободные члены b_j для i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 считаются заданными).

Тройка чисел называется решением системы (28), если в результате подстановки этих чисел вместо все три уравнения системы обращаются в тождества.

Систему (28) можно переписать в матричном виде:

, или AX = B,

где A – это матрица коэффициентов при неизвестных, Х – столбец неизвестных, В – столбец свободных членов:

Составим определитель матрицы А и три вспомогательных определителя:

(29)

Определитель Δ называется главным определителем системы (28). Вспомогательные определители Δ₁, Δ₂ и Δ₃ получаются из Δ заменой элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.

Если определитель , то существует единственное решение системы (28) и оно выражается формулами:

(30)

Формулы (30) называются формулами Крамера.

5. Решение системы трех линейных алгебраических уравнений при помощи обратной матрицы

Присоединенной (союзной) матрицей к квадратной матрице

А = называется матрица

, (31)

где – алгебраические дополнения элементов определителя матрицы А.

Матрица называется обратной к квадратной матрице А, если выполнено условие: , где Е – единичная матрица той же размерности, что и А.

Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда квадратная матрица А – невырожденная, т. е. .

Чтобы найти обратную матрицу , необходимо:

а) проверить невырожденность матрицы А, вычислив определитель detA;

б) найти союзную матрицу А^* к матрице А;

в) найти обратную матрицу по формуле:

. (32)

Если систему линейных алгебраических уравнений (28) переписать в матричном виде AX = B, то ее решение можно получить матричным способом, т. е. при помощи обратной матрицы:

, (33)

где – обратная матрица для данной матрицы А.

6. Векторы. Операции над векторами

Вектор может быть представлен в виде:

(34)

где – проекции вектора на оси координат (координаты вектора), векторы – это орты (единичные векторы) координатных осей (рис. 17).

В екторную формулу (34) можно писать сокращенно: = {a_x; a_y; a_z}.

Орты имеют проекции:

= {1; 0; 0}, = {0; 1; 0}, = = {0; 0; 1}.

Модуль (длина) вектора = {a_x; a_y; a_z} определяется по формуле:

. (35)

Координатами точки М называют проекции ее радиус-вектора (рис. 17). Обозначают координаты точки М(x; y; x) или М(x_М; y_М; x_М).

Расстояние между точками А (x_А, y_А, z_А) и B(x_В, y_B, z_B) определяется по формуле:

. (36)

Если известны координаты точек – начала и конца вектора :

А (x_А, y_А, z_А), B(x_В, y_B, z_B), то проекции вектора можно найти по формуле:

. (37)

Пусть даны векторы = {a_x; a_y; a_z} и = {b_x; b_y; b_z}, тогда проекции суммы (разности) векторов:

. (38)

Произведение вектора на число: если λ – число и =λ , то

= {λa_x; λa_y; λa_z}. (39)

Скалярное произведение векторов и – это число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

где φ – угол между векторами и .

Другие обозначения скалярного произведения: , .

Если = {a_x; a_y; a_z}, = {b_x; b_y; b_z}, то скалярное произведение

(40)

При помощи скалярного произведения можно найти угол между векторами:

(41)

а также проекцию одного вектора на ось другого вектора:

(42)

Векторное произведение вектора на вектор – это вектор , удовлетворяющий трем условиям:

1) , ;

2) векторы , и образую правую тройку;

3) , то есть | | равен площади параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 18).

Обозначения векторного произведения: , .

Е сли = {a_x; a_y; a_z}, = {b_x; b_y; b_z}, то векторное произведение можно вычислить при помощи определителя:

или, с использованием формулы (27):

(43)

Векторное произведение используют, когда нужно найти вектор , перпендикулярный двум данным векторам и : , а также для вычисления площади параллелограмма (или треугольника), построенного на векторах и (рис. 18):

(44)

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению векторов и .

Обозначения смешанного произведения: или .

Если = {a_x; a_y; a_z}, = {b_x; b_y; b_z} и = {с_x; с_y; с_z}, то смешанное произведение можно вычислить при помощи определителя:

= . (45)

Если три ненулевых вектора , и параллельны одной и той же плоскости (компланарны), то их смешанное произведение равно нулю:

= 0. (46)

Объем V параллелепипеда, построенного на векторах , и можно вычислить по формуле:

. (47)