Тема 3. Введение в математический анализ

1. Числовая последовательность и ее предел.

Функция, областью определения которой является множество натуральных чисел называется последовтельностью.

Если то последовательность называется числовой.

Число А называется пределом числовой последовательности , если можно указать , что для всех членов этой последовательности выполняется неравенство

2. Определение функции. Способы задания функции.

Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у, где переменная х - независимая переменная или аргумент и переменная у - зависимая переменная.

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

3. Обратная функция. Сложная функция.

Если поменять ролями аргумент и функцию, то  x  станет функцией от  y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией.

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.

4. Определение предела функции в точке на языке « ». Понятие односторонних пределов. Формулировка теоремы oсуществовании предела функцииf(х) в точке .

называется предел функции f(x) при , если для любого , что при всех и

Односторо́ннийпреде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́ннимпреде́лом (или преде́ломсле́ва) и правосторо́ннимпреде́лом (преде́ломспра́ва).

Для того чтобы функция f : E → R имела в точке x0 конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы функция f удовлетворяла в точке x0 условию Коши.

Будем говорить, что функция f : E → R удовлетворяет в точке x0 (x0 — предельная точка множества E) условию Коши, если

5. Определение предела функции на бесконечности.

называется предел функции f(x) при , если для любого найдётся ,что для всех выполняется неравенство

6. Теорема о сумме, разности, произведении и частном двух функций, имеющих пределы в точке.

Пусть функции f(x) и g(x) имеют пределы при одной и той же базе  B:

Тогда функция h(x)=f(x)+g(x) также имеет предел при базе B, и этот предел L равен сумме пределов слагаемых:

Разность функций

Пусть функции f(x) и g(x) имеют пределы при одной и той же базе B:

Тогда функция h(x)=f(x) g(x)  также имеет предел при базе B, и этот предел L равен произведению пределов сомножителей:

Пусть при одной и той же базе B существуют пределы   и  , причём  . Тогда функция   определена на некотором окончании базы B, существует предел  , и  , то есть предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя.