9. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

10. Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа? Доказательство?

Теорема Ролля:

Пусть функция y=f(x):

1. Определена и непрерывна на [a,b]

2. Дифференцируема в (a,b)

3. На концах отрезка принимает равные значения.

Тогда внутри интервала найдется хотя бы одна точка С, в которой производная =0

Теорема Лагранжа;

Пусть функция y=f(x):

1. Определена и непрерывна на [a,b]

2. Дифференцируема в (a,b)

Тогда внутри (a,b) найдется хотя бы одна точка С, в которой выполняется условие:

Доказательство:

Для доказательства возьмем вспомогательную функцию:

Эта функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля.

1. 

2. 

3. 

Тогда существует точка С, такая что

Ч.Т.Д.

Теорема Коши:

Пусть функция f(x) и g(x):

1. Определена и непрерывна на [a,b]

2. Дифференцируема в (a,b)

3. 

Тогда внутри найдется хотя бы одна точка С, в которой выполняется условие

Доказательство:

Для доказательства возьмем вспомогательную функцию: . Эта функция удовлетворяет всем 3 условиям теоремы Ролля:

1. Определена и непрерывна на отрезке [a,b]

2. 

3. 

Тогда найдется точка С,

Тогда

Ч.Т.Д.

11. Правило Лопиталя.

1)Правило Лопиталя:

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой этой точки; за исключением, быть может, самой этой точки; существует конечный предел .

Тогда

2) Правило Лопиталя:

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой этой точки; за исключением, быть может, самой этой точки; существует конечный предел .

Тогда

Замечания к 1 и 2:

1. Правило Лопиталя действует не всегда, т.е. предел отношения функций может существовать когда предел отношения производных не существует.

2. Если f’(x) и g’(x)=0 или , то правила Лопиталя можно использовать повторно.

Тема 5. Исследование функций с помощью производных.

1. Условие возрастания и убывания функций. Признак монотонности функции.

Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a,b) функция y=f(x) монотонно возрастала (убывала) неоходимо и достаточно, чтобы ее f’(x)>0 (f’(x)<0).

2. Точки экстремума функции одной переменной.

Точка называется точкой локального экстремума функции y=f’(x) если значение функции f’( является наибольшим (наименьшим) значением фукнции в окрестности точки . Точки возможного экстремума называются критическими точками.