Теорема о пределе функции, заключенной между двумя функциями, имеющими один и тот же предел.
Если функция f(x) заключена между двумя функциями g(x) и p(x), имеющими один и тот же предел, то она стремится к этому же пределу.
Определение бесконечно малой функции. Теорема о сумме и произведении конечного числа бесконечно малых функций, а также о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.
Функция
называется
бесконечно малой при
,
если
Сумма и произведение конечного числа бесконечно малой функции есть функция бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть функция бесконечно малая.
Теорема о необходимом и достаточном условиях выполнения равенства с использованиемпонятия бесконечно малой функции. Бесконечно большие функции и их свойства.
Если f(x) имеет предел, то её можно представить как сумму постоянной и бесконечно малой функции.
Функция
называется бесконечно большой при
,
если
предел этой функции
Сумма и произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.
Сумма бесконечно большой функции и ограниченой есть функция бесконечно большая
Произведение
бесконечно большой функции на
есть
функция бесконечно большая.
Правила сравнения бесконечно малых функций.
Допустим,
у нас есть бесконечно малые при одном
и том же 
величины 
и 
Если 
,
то 
—
бесконечно малая высшего
порядка малости,
чем 
.
Обозначают 
.
Если 
,
то
—
бесконечно малая низшего
порядка малости,
чем
.
Соответственно 
.
Если 
(предел
конечен и не равен 0), то
и
являются
бесконечно малыми величинами одного
порядка малости.
Это
обозначается как 
или 
(в
силу симметричности данного отношения).
Если 
(предел
конечен и не равен 0), то бесконечно малая
величина
имеет 
-й
порядок малости относительно
бесконечно малой
.
Первый замечательный предел.
Предел отношения sinxк xпри равен 1.
Доказательство?
Второй замечательный предел.
или 
Доказательство?
Определения непрерывности функции.
Функция называется
непрерывной на отрезке, если она
непрерывна в каждой точке этого
отрезка.Функция 
непрерывна
в точке 
,
если для любого 
существует 
такое,
что для любого
Точки разрыва функции и их классификация.
Точка
называется точкой
разрыва функции
f(x), если f(x) не определена в точке
или не является непрерывной в этой
точке.
Точка называется точкой разрыва 1-го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. (скачок)
Точка называется точкой разрыва 2–го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
Тема 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Производная функции одной переменной, её геометрический и физический смысл.
Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
Физ. Смысл- производная расстояния = скорости, производная скорости = ускорению.
Геом. Смысл – производная – это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке.
Непрерывность функции одной переменной, имеющей конечную производную.
Теорема. Если
функция 
дифференцируема
в некоторой точке a,
то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. По определению производной
Это предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде
где α(x) – бесконечно малая функция при x → a. Тогда
Следовательно, 
при x → a.
Уравнение касательной и нормали к графику.
Уравнение
касательной:
.
Прямая,
проходящая через точку касания, является
касательной.
Уравнение
нормали:
Нормалью
называется прямая, перпендикулярная
костельной и проходящая через точку
косания.
Теоремы о производной суммы, разности, произведения и частного двух функций одной переменной.
Производная
суммы:
Производная произведения:
Производная частного:
Доказательство.
Формулу
производной частного можно получить,
следуя обычной схеме вычисления
производной. Но можно поступить проще.
Пусть 
Найдем
производную функции u
по правилу дифференцирования
произведения: 
Выразим
из этой формулы 
а вместо h
подставим его значение 
Получим: 
Производная сложной функции.
Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
Производная обратной функции.
Производные функций, заданных неявно и параметрически.
Производная функции, заданной неявно;
Дифференцируемость и дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
Дифференциалом функции с геометрической точки зрения является приращение ординаты касательной.
С математической точки зрения дифференциал – это главная линейная часть приращения функции.
,
где dY
– дифференциал функции, а dX
– дифференциал независимой переменной.
Функция называется дифференцируемой в точке, если она имеет производную в этой точке.
Функция дифференцируема на интервале если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.