2.2. Графический способ решения злп
Геометрическая интерпретация экономических задач дает возможность наглядно представить, их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. ЗЛП с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых больше трех, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства ОЗЛП, приводит к идее ее решения, делает геометрически наглядными способы решения и пути их практической реализации. Пусть дана задача
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Дадим геометрическую интерпретацию
элементов этой задачи. Каждое из
ограничений (2.12), (2.13) задает на плоскости
некоторую
полуплоскость. Полуплоскость — выпуклое
множество. Но пересечение любого числа
выпуклых множеств является выпуклым
множеством. Отсюда следует, что область
допустимых решений задачи (2.11) — (2.13)
есть выпуклое множество.
Перейдем к геометрической интерпретации
целевой функции. Пусть область допустимых
решений ЗЛП — непустое множество,
например многоугольник 
.
Выберем произвольное значение
целевой функции 
. Получим
. Это
уравнение прямой линии. В точках
прямой NМ целевая
функция сохраняет одно и то же постоянное
значение
.
Считая в равенстве (2.11) F параметром,
получим уравнение семейства параллельных
прямых, называемых линиями уровня
целевой функции (линиями постоянного
значения).
Найдём частные
производные целевой функции по 
и 
:
(2.14)
.
(2.15)
Частная производная (2.14) (так же как
и (2.15)) функции показывает скорость ее
возрастания вдоль данной
оси.Следовательно,
и 
—
скорости возрастания F соответственно
вдоль осей 
и 
.Вектор
=(
называется
градиентом функции.Он показывает
направление наискорейшего возрастания
целевой функции:
(2.16)
Вектор
указывает
направление наискорейшего убывания
целевой функции. Его называют
антиградиентом.
Вектор
=(
перпендикулярен
к прямым 
семейства
.
Из геометрической интерпретации
элементов ЗЛП вытекает следующий порядок
ее графического решения.
1.
С учетом системы ограничений строим
область допустимых решений
.
2. Строим вектор =( наискорейшего возрастания целевой функции — вектор градиентного направления.
3. Проводим произвольную линию уровня .
4. При решении задачи на максимум перемещаем линию уровня в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в ее крайнем положении (крайней точке). В случае решения задачи на минимум линию уровня перемещают в антиградиентном направлении.
5.
Определяем оптимальный план 
и
экстремальное значение целевой функции
.