Глава 2. Методика численного эксперимента

Основной задачей моделирования являлся поиск пространственно-временного концентрационного профиля электроотрицательного компонента N_A(x,y,z,t) в селективно растворяющемся сплаве. При решении соответствующих диффузионно-кинетических задач, построенных на уравнениях в частных производных с набором начальных и граничных условий, использовали численный подход.

Область пространства, в которой производится поиск концентрационного профиля N_A(x,y,z,t), разбивали на определенное число подобластей, генерируя так называемую сетку элементов. В каждом из элементов задавали аппроксимирующую функцию, например, в виде линейного полинома с неизвестными коэффициентами. Значение аппроксимирующей функции вне своего элемента равно нулю, в то время как на границах элементов (в узлах) N_A(x_i,y_i,z_i,t) оно является решением задачи и заранее неизвестно. Искомая функция N_A(x,y,z,t) является непрерывной, поэтому ее значения в каждом узле для соседствующих элементов должны быть одинаковыми. Получали семейство кусочно-линейных функций, которые зависят от конечного числа параметров – своих узловых значений.

Таким образом, в методе конечных элементов задача поиска функции заменяется на проблему поиска матрицы ее приближенных значений в отдельных точках, т.е. в узлах сетки. Исходная задача, состоящая из дифференциального уравнения с соответствующими граничными условиями, преобразуется в систему алгебраических уравнений относительно значений коэффициентов аппроксимирующей функции в узлах сетки элементов. Поиск коэффициентов вели исходя из условия равенства значения функций в узлах соседних элементов. Уменьшение максимального размера элемента приводило к увеличению числа узлов и неизвестных узловых параметров. Однако одновременно возрастала возможность точнее удовлетворить условиям задачи и приблизиться к искомому решению.

Главным недостатком метода конечных элементов длительное время являлась необходимость самостоятельной разработки вычислительных программ для формирования сетки элементов и решения системы алгебраических уравнений. В настоящее время эта проблема успешно решается с использованием мощной и универсальной программной платформы COMSOL Multiphysics [52-55], основанной на передовых численных методах для компьютерного моделирования физических задач.

В общую схему компьютерного расчета входили этапы по построению рабочей двумерной или трехмерной геометрической области, в пределах которой реализуется нестационарный диффузионный массоперенос; ее дискретизации разложением на множество конечных элементов, т.е. весьма малых и конечных по размеру подобластей, соединенных между собой узловыми точками; заданию начального и граничных условий; компьютерному формированию системы линейных алгебраических уравнений и генерации итоговой матрицы численных значений концентрации и нормального массопотока диффузанта в узловых точках рабочей области путем итерационного решения задачи. Размеры рабочей области и неровностей поверхности электрода, а также количество конечных элементов выбирали, в том числе, исходя из условий оптимума машинного времени. Для получения более точного решения вблизи шероховатой границы раздела создавали повышенную плотность узловых точек.

В качестве модельной электрохимической системы рассматривается двухкомпонентный гомогенный металлический сплав с объемной мольной долей электроотрицательного компонента 80 ат. %, подвергающийся селективному растворению в условиях потенциодинамической анодной поляризации. Принимается, что лимитирующей стадией процесса является объемная диффузия атомов электроотрицательного компонента, коэффициент твердофазной диффузии равен 10^–18 м²/с.