2. Входной контроль

1.1 Назвать виды деформаций, изучаемых в разделе техмеханики «Сопромат»;

1.2 Привести примеры работы балки на растяжение и сжатие;

1.3 Объяснить суть метода сечений в решении задач на растяжение и сжатие балки;

1.4 Объяснить, почему при растяжении и сжатии в брусе возникают внутренние усилия и напряжения.

2. Получение задания согласно варианту и изучение его содержания

Студенты получают индивидуальные задания для выполнения работы такого содержания: для заданного бруса построить эпюры продоль­ных сил и нормальных напряжений, проверить прочность на каж­дом участке, приняв [σ]р=160 МПа, [σ]с=120 МПа.

3. Выполнение работы

3.1 Перечертить задание - брус с заданными силами, записать значения сил и площади поперечного сечения бруса.

3.2 Выполнить расчет внутренних усилий бруса.

3.3 Построить эпюру внутренних усилий бруса.

3.4 Выполнить расчет нормальных напряжений бруса.

3.5Построить эпюру нормальных напряжений бруса.

3.6 Проверить брус на прочность. Записать вывод.

При продольном осевом нагружении (растяжении-сжатии) в поперечных сечениях бруса имеют место только нормальные напряжения σ. Поэтому для обеспечения прочности стержней и стержневых систем достаточно выполнение условия:

Здесь σ_max – максимальные расчетные нормальные напряжения в стержне, N – внутренние продольные силы (принимаются с построенных эпюр), А – соответствующая площадь поперечного сечения бруса, [σ] – допустимые напряжения (расчетное сопротивление) для материала стержня.

Данное условие означает что для того чтобы стержень при растяжении-сжатии оставался прочным, напряжения σ в его сечениях не должны превышать допустимых значений [σ].

В случаях, когда для материала стержней допустимые напряжения на растяжение [σ]р и на сжатие [σ]сж отличаются, при сравнении необходимо учитывать знак напряжений σ, который зависит только от знака соответствующих внутренних сил N. Положительные значения напряжений σ сравниваются с [σ]р, отрицательные напряжения по модулю не должны превышать значения [σ]сж.

В случае, когда известны внешние нагрузки, а также размеры и материал стержня можно выполнить проверку его прочности. Для этого по каждому участку рассчитывается величина нормальных напряжений σ, после чего максимальная из них сравнивается с заданным допустимым значением [σ].

Ответ в данной задаче дается в виде заключения:

если σ_max ≤ [σ] стержень прочный,

если σ_max > [σ] стержень непрочный.

Для заданного бруса построить эпюры продоль­ных сил и нормальных напряжений, проверить прочность на каж­дом участке, приняв [σ]р=160 МПа, [σ]с=120 МПа.

Решение

1. Разделим брус на участки, границы которых определя­ются местами изменения поперечных размеров бруса и точками приложения внешних нагрузок. Рассматриваемый брус имеет три участка. Для закрепленного одним концом бруса расчет целесообраз­но вести со свободного конца, чтобы не определять опорной ре­акции.

2. Применяя метод сечений, определяем продольную силу N, выражая ее через внешние силы F₁ и F₂. Проводя в пределах каждого из участков сечение, будем от­брасывать левую закрепленную часть бруса и оставлять для рас­смотрения правую часть.

На участке I продольная сила равна

N₁=-F₁=-14kH.

На участке II продольная сила равна

N₂= -F₂=-14кН.

Отрицательное значение N показывает, что на участках I и II - брус сжат. На участке III сила равна

N₃ = -F₁ +F₂= -14 + 40 = 26 кН.

Знак плюс показывает, что брус на III участке растянут.

По полученным из расчета данным строим эпюру N.

Для этого параллельно оси бруса проведем базовую (нуле­вую) линию эпюры, откладываем перпендикулярно ей в произ­вольном масштабе полученные значения N. В пределах каждого участка нагружения продольная сила постоянная, а потому на эпюре изобразится прямой, параллельной базовой. Положитель­ные значения будем откладывать вверх от базовой линии, а отри­цательные - вниз. Эпюра штрихуется линиями, перпендикуляр­ными оси бруса.

Эпюра продольных сил представляет собой график, выра­жающий закон изменения продольной силы во всей длине бруса.

Любая ордината эпюры продольных сил, измеренная в соот­ветствующем масштабе, выражает величину продольной силы в данном поперечном сечении.

3. Для определения напряжений и в любом поперечном се­чении значение продольной силы, действующей в дан­ном сечении необходимо разделить на площадь этого сечения:

σ =   .

Находим напряжения на каждом участке бруса и строим эпюру:

 =   = −   = −116,7 МПа

 =   = −   = −87,5 МПа

 =   = −   = 162,5 МПа

В соответствии с полученными значениями напряжений строим эпюру нормальных напряжений. При построении эпюр и проверке их правильности следует руководствоваться следующими правилами:

1. Скачки на эпюрах N имеют место в точках приложения сосредоточенных сил. Величина скачка равна внешней силе, приложенной в этом сечении.

2. На эпюре а скачки имеют место не только в точках при­ложения сосредоточенных сил, но и в местах изменения площади поперечного сечения.

3. Знаки на участках эпюры а должны совпадать со знака­ми на соответствующих участках эпюры N.

4. Выполняем проверку прочности бруса, т.е. расчетное напряжение (для каждого участка в отдельности) срав­ниваем с допускаемыми:

σ≤[ σ]

 = 116,7 МПа < [σ]с = 120 МПа

σ 2 = 87,5 МПа < [σ]с = 120 МПа

σ 3 = 162,5 МПа > [σ]р = 160 МПа

Величины превышений от допускаемых напряжений в пре­делах 5% в реальном проектировании считаются возможными. Поэтому на I и на III участках сечение подобраны верно. На участке II недогрузка составляет 27% - это говорит о том, что сечение на участке II выбрано не экономично, имеет место большой перерасход материала, (>10%).