6.3 Брюсселятор

Колебания, имеющие постоянную период и амплитуду, устанавливаются независимо от начальных условий и поддерживаются свойствами самой системы, без воздействия периодической силы, система называется автоколебательной. На фазовой плоскости такому типу поведения соответствует устойчивый предельный цикл — притягивающее множество. Предельный цикл есть изолированная замкнутая кривая. Предельные циклы могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Предельный цикл устойчив, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл — окрестность ε, — что все фазовые траектории, начинающиеся в окрестности ε, асмиптотически при t → ∞ приближаются к предельному циклу.

Если фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при t → ∞ , то такой предельный цикл называется неустойчивым. Такие циклы разделяют области влияния разных притягивающих множеств. Внутри устойчивого предельного цикла обязательно есть неустойчивая точка типа фокус или узел. Необходимым условием рождения устойчивого предельного цикла является переход (бифуркация) типа стационарного состояния от устойчивого фокуса к неустойчивому (действительная часть соответствующих характеристических чисел Reλ_1,2 через 0 переходит от отрицательных значений к положительным, при этом мнимая часть характе-ристических чисел Imλ_1,2 отрицательна). После такой бифуркации возможность существования устойчивого предельного цикла сохраняется до тех пор, пока Reλ_1,2 сохраняют положительное значение.

Брюсселятор — базовая модель, являющаяся классическим примером автоколебательного поведения переменных (концентраций) в системе химических реакций.

Брюсселятор представляет собой следующую схему гипотетических реакций:

Здесь А, В — исходные вещества, C, R — продукты, X, Y — промежуточные вещества. Пусть конечные продукты C и R немедленно удаляются из реакционного пространства. Это означает, что обратные константы k_-3=k_-4=0. Если субстрат A находится в избытке, то k_-1=0 . Предполагают также, что k_-2=0. Значения остальных констант приравнивают 1. Тогда рассматриваемая схема реакций описывается системой уравнений:

Исследуем систему уравнений. Найдем стационарные значения:

Исследуем тип стационарной точки и ее устойчивость. Найдем коэффициенты линеаризации:

P_x’=-(B+1)+2xy|_(x,y)=B-1

P_y’=x²|_(x,y)=A²

Q_x’=B-2xy|_(x,y)=-B

Q_y’=-x²|_(x,y)=-A²

1) Определим знак P’_x+Q_y’для ответа на вопрос об устойчивости:

P’_x+Q_y’=B-1-A²

При B>1+A²выполнено неравенство P’_x+Q_y’>0, значит, в этой области параметров стационарная точка неустойчива.

При B ≤ 1+ A² выполняется неравенство P’_x+Q’_y≤0, таким образом, в этой области параметров стационарная точка устойчива.

2) Δ=P_x'Q_y'-P_y'Q_x'=-A²(B-1)+A²B=A²>0 седел не существует.

3) Фокус или узел? Надо определить знак подкоренного выражения в формуле для вычисления характеристических чисел λ_1,2:

(B-1-A²)²-4A²= (B-1-A²-2A)(B-1-A²+2A)=(B-(1-A)²)(B-(1+A)²)

Это выражение отрицательно при выполнении неравенства (1-A)²<B<(1+A)². Таким образом, при выполнении неравенства (1-A)²<B<(1+A)² в системе должны наблюдаться колебания.

При B ≤ (1-A)² и B ≥ (1+A)² колебаний в системе не будет.

При P_x’+Q_y’=0 происходит смена устойчивости стационарного состояния типа фокус, в этот момент происходит рождение предельного цикла. Получившиеся результаты можно представить в виде параметрической диаграммы:

[15]

6.4 Расширенный орегонатор

Модель Шоуалтера, Нойеса и Бар-Эли разрабатывалась для моделирования сложно периодического и хаотического поведения реакции. Однако хаос получить в этой модели не удалось. [18]

1. A+YX+P

2. X+Y2P

3. A+X2W

4. C+WX+Z’

5. 2XA+P

6. Z’ gY+C,

где   — BrO₃⁻;   — HBrO₂;   — Br⁻;   — Ce³⁺;  ' — Ce⁴⁺;   — BrO₂^•;   — HOBr.

6.4 Графическая схема

Рис. 7