2.5. Соединения элементов. Топологические элементы электрической цепи

В зависимости от характера соединения элементов, различают неразветвленные и разветвленные цепи. В неразветвленной цепи через все элементы протекает один и то же ток. В разветвленных цепях соотношение токов в элементах может быть произвольным.

Соединение элементов, при котором через них протекает один и тот же ток, называют последовательным. Соединение элементов, при котором все элементы находятся под одним и тем же напряжением называют параллельным. Комбинацию последовательного и параллельного соединения называют смешанным соединением.

Внешние выводы отдельных участков электрической цепи, так же как и внешние выводы элементов, называют полюсами. В зависимости от числа полюсов участки цепи делят на двухполюсники, трехполюстники, четырехполюсники и N-полюсники (многополюсники).

Трехполюсник, содержащий три элемента, подключенные между внешними выводами, называют треугольником (рис. 2.17).

Трехполюсник, содержащий три элемента, один из выводов которых подключен к внешним выводам, а оставшиеся выводы соединены вместе, называют звездой (рис. 2.18).

Четырехполюсник, имеющий два входных и два выходных вывода, содержащий четыре элемента, включенные так, что каждый входной вывод соединен с каждым выходным выводом, называют мостом (рис. 2.19). Схемы, изображенные на рис. 2.19, совершенно одинаковы, хотя непохожи по начертанию.

Для описания характера соединения элементов цепи используют понятие ветвь, узел и контур.

Ветвь представляет собой один или несколько последовательно включенных двухполюсных элементов. Место соединения ветвей называют узлом. Соединение двух ветвей в общей точке образуют устранимый узел. Соединение в общей точке трех и более ветвей образует неустранимый узел. Контуром называют любую замкнутую цепь из ветвей.

Ветвь, узел и контур называют топологическими элементами электрической цепи.

2.6. Законы Кирхгофа. Система уравнений электрического равновесия цепи

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю, при этом токи, втекающие в узел считают положительными, а вытекающие – отрицательными:

,

где k – номер ветви, подключенной к рассматриваемому узлу.

Это уравнение называют уравнением баланса токов в узле. Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому, в любой точке электрической цепи заряды не накапливаются и не расходуются.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных напряжений в контуре равна нулю, при этом напряжение ветви считается положительным, если его положительное направление совпадает с направлением обхода контура, и отрицательным в противном случае:

,

где k – номера ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Это уравнение называют уравнением баланса напряжений в контуре. Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии.

Уравнения, составленные на основании первого и второго законов Кирхгофа, называют топологическими, т. к. они отражают свойства цепи, которые определяются только ее топологией и не зависят от того, какие элементы входят в состав ветвей. Уравнения, устанавливающие связь между током и напряжением каждой ветви, называют компонентными (уравнениями ветвей).

На основании топологических и компонентных уравнений цепи можно составить систему уравнений, позволяющую определить токи и напряжения в цепи. Такую систему называют системой уравнений электрического равновесия цепи.

Рассмотрим последовательную RLC-цепь, изображенную на рис 2.20. Согласно второму закону Кирхгофа

u_L+u_C+u_R=e.

С учетом компонентных уравнений получим

,

т. е. уравнение электрического равновесия цепи является интегродифференциальным уравнением. Продифференцировав последнее соотношение по времени, получим

;

т. е. уравнение электрического равновесия цепи может быть сведено к дифференциальному уравнению цепи, порядок которого равен числу независимых реактивных элементов цепи.