31)Вычисление определенных интегралов от четных и нечетных функций.

Метод решения определенного интеграла от четной функции  по симметричному относительно нуля отрезку

Рассмотрим определенный интеграл вида  . Легко заметить, что отрезок интегрирования   симметричен относительно нуля.

Если функция  подынтегральная   является чётной, то интеграл   можно вычислить по половине отрезка, а результат – удвоить:  .

Метод решения  определенного интеграла от нечетной функции  по симметричному относительно нуля отрезку

Рассмотрим тот же определенный интеграл с симметричным относительно нуля отрезком интегрирования:  .  Если подынтегральная функция   является нечётной, то  .

32)Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах.

Площадь правильной области    в полярных координатах находится так:

33)Вычисление объемов.

Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела  ;

б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой  , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем  ;

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b   и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле  ;

г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой  , двумя полярными радиусами   и  , то  объем полученного тела может быть вычислен по формуле  .

34)Вычисление длины дуги кривой.

Определение. Длиной дуги кривой y = f(x) на отрезке [a; b] называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной при стремлении к нулю длины ее наибольшего звена (или, что то же самое, при неограниченном увеличении числа точек деления)

.

Если кривая на плоскости задана параметрически: x = x(t), y = y(t),  ;  , где x(t), y(t) – дифференцируемые функции, имеющие на отрезке   непрерывную производную, то, выполнив замену переменной в предыдущих формулах, получим

,

.

35)Вычисление площади поверхности вращения.

Найдем площадь поверхности, которая образуется вращением кривой   вокруг оси   , где   .

Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла:

Теперь рассмотрим случай, когда вращаем кривую   вокруг оси   , где 

В этом случае площадь определяется вычислением следующего определенного интеграла:

36)Вычисление статических моментов, моментов инерции и координат центра тяжести однородной материальной кривой.

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой.

Статическим моментом S_Х системы материальных точек относи­тельно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох):           Аналогично определяется статистический момент S   этой системы относительно оси Oy: S  =  . 

Центром тяжести материальной плоской кривой у = f(х), х 6 [а; b] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен ста­тическому моменту всей кривой у = f(х) относительно той же оси. Обо­значим через С(х_с;у_с) центр тяжести кривой АВ.  Из определения центра тяжести следуют равенства   и   или   и  . Отсюда  ,  или