47)Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производнойфункции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))',   n ϵ N,   f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

48)Экстремум функции нескольких переменных, необходимое и достаточное условие экстремума.

Определение. Если существует такое число δ>0, что для всех ∆x и ∆y, удовлетворяющих условиям |∆x|<δ и |∆y|<δ, верно неравенство ∆f(x0, y0)=f(x0+∆x, y0+∆y)-f(x0, y0)≤0 (1), то

точка M0(x0, y0) называется точкой локального максимума функции f(x, y); если же для всех

∆x, ∆y, удовлетворяющих условиям |∆x|<δ и |∆y|<δ, ∆f(x0, y0)=f(x0+∆x, y0+∆y)-f(x0, y0)≥0

(2), то точка M0(x0, y0) называется точкой локального минимума.

Иными словами, точка M0(x0, y0) есть точка максимума или минимума функции f(x, y),

если существует δ-окрестность точки M0(x0, y0) такая, что во всех точках M(x, y) этой

окрестности приращение функции ∆f=f(x, y)-f(x0, y0) сохраняет знак.