6.Анализ технических объектов и систем
6.1.Цель и основные задачи анализа
Цель анализа ‑ получение информации о характере функционирования технической системы, определение состояния системы, Y, при заданных внутренних параметрах, Х, и известных внешних воздействиях, Q:
Y = F(X, Q).
Для технической (механической) системы значение имеет ее энергетическое состояние. Оно определяется выходящими из нее потоками вещества и/или энергии. Эти потоки характеризуются определенными физическими величинами. Соответствующие им переменные ‑ это фазовые переменные или переменные состояния. Например, состояние редуктора характеризуется моментом на выходном валу (это момент сопротивления) и частотой вращения этого вала, состояние гидросистемы – давление и расход жидкости на выходе и т.д. Таким образом, можно считать, что состояние системы, Y, ‑ это совокупность значений фазовых переменных, Vti, зафиксированных в некоторой временной точке ti процесса функционирования. Множество ВОЗМОЖНЫХ значений вектора переменных состояния V называют пространством состояний.
Внутренние параметры системы, Х, – величины, характеризующие свойства самой системы, ее элементов (не потоков вещества и энергии). Параметры ‑ величины, не изменяющиеся в процессе функционирования системы. Наиболее характерный пример параметров – размеры деталей: диаметры зубчатых колес, диаметры и углы лопастных колес и т.п.
Внешние воздействия, Q – это потоки вещества и/или энергии, входящие в систему. Причем значение имеют как управляемые воздействия, такие, как частота вращения входного вала редуктора, так и воздействия случайные, неконтролируемые, температура окружающей среды, например1.
Зависимость, подобная приведенной выше, в явном виде может быть построена только для очень простых систем. В большинстве случаев она может быть установлена в неявном виде:
LV(Z) = φ(Z)
где V – вектор фазовых переменных, Z – вектор независимых переменных, L ‑некоторый оператор, φ – некоторая функция соответственно.
Независимые переменные – это пространственные координаты, x, y, z, и время, t.
В качестве операторов в моделях технических систем используются интегралы и дифференциалы.
Математические выражения, описывающие зависимости между внешними воздействиями и состоянием системы с учетом внутренних параметров, называют математической моделью этой системы. Формирование математической модели – основная задача в рамках анализа технических систем.
Известно, что скорость изменения температуры объекта пропорциональна разнице, ΔТ, между его температурой и температурой окружающей среды. Кроме того, согласно закону теплопроводности Фурье, вектор плотности теплового потока2 пропорционален градиенту температур. Соответственно, тепловое взаимодействие системы с окружающими объектами можно представить следующей системой выражений:
Технические системы включают множество разнообразных элементов. В каждом элементе происходят определенные предобразования и элементы взаимодействуют между собой. В математических моделях эта многокомпонентность должна быть учтена.
Фазовые переменные делятся на две категории: потоковые (скорость, сила тока, расход жидкости) и потенциальные (сила, давление, напряжение).
Функционирование отдельных элементов (компонентов) объекта описываются как взаимосвязи между фазовыми переменными различных категорий. Например, уравнение F = ma связывает потоковую переменную а (ускорение), с потенциальной переменной F (сила) через параметр m, выражающий такое свойство объекта, как «мера инертности» (или масса). Уравнения, описывающие такие взаимосвязи, называются компонентными.
Взаимодействие элементов (компонентов) между собой – это взаимосвязь между переменными одной категории. Соответствующие уравнения называются топологическими. Например, уравнение равновесия груза на пружине, mg=kx, (m – масса груза, k – жесткость пружины) описывает взаимосвязи между потенциальными переменными типа «сила»: слева сила тяжести объекта «груз», справа – сила объекта «пружина».
Математические модели сложных многокомпонентных систем – это совокупности компонентных и топологических уравнений.